Номер 51, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 51, страница 22.

51 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Верно ли, что:

a) если $x > 2$ и $y > 10$, то $x + y > 12$; $x + y > 10$; $x + y > 20$;

б) если $x < \frac{1}{2}$ и $y < \frac{1}{2}$, то $x + y < 1$; $x + y < 0$; $x + y < 3?

а)

Даны два строгих неравенства: $x > 2$ и $y > 10$.

Согласно свойству числовых неравенств, если сложить два неравенства одного знака, то знак неравенства сохранится. Сложим данные неравенства почленно:

$x + y > 2 + 10$

$x + y > 12$

Это основной результат, который мы будем использовать для проверки утверждений.

Проверим утверждение $x + y > 12$.
Это утверждение является прямым следствием сложения исходных неравенств. Следовательно, оно верно.

Проверим утверждение $x + y > 10$.
Мы доказали, что $x + y > 12$. Любое число, которое больше 12, также больше и 10. Следовательно, это утверждение тоже верно.

Проверим утверждение $x + y > 20$.
Это утверждение не всегда является верным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример. Возьмем значения переменных, удовлетворяющие исходным условиям: пусть $x = 3$ (так как $3 > 2$) и $y = 11$ (так как $11 > 10$). Тогда их сумма будет $x + y = 3 + 11 = 14$. Неравенство $14 > 20$ является ложным. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: $x + y > 12$ — верно; $x + y > 10$ — верно; $x + y > 20$ — неверно.

б)

Даны два строгих неравенства: $x < \frac{1}{2}$ и $y < \frac{1}{2}$.

Сложим эти неравенства почленно, сохраняя знак неравенства:

$x + y < \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$x + y < 1$

Это основной результат, который мы будем использовать для проверки утверждений.

Проверим утверждение $x + y < 1$.
Это утверждение является прямым следствием сложения исходных неравенств. Следовательно, оно верно.

Проверим утверждение $x + y < 0$.
Это утверждение не всегда является верным. Переменные $x$ и $y$ могут быть положительными числами. Например, возьмем $x = 0.3$ (так как $0.3 < 0.5$) и $y = 0.4$ (так как $0.4 < 0.5$). Тогда их сумма $x + y = 0.3 + 0.4 = 0.7$. Неравенство $0.7 < 0$ является ложным. Следовательно, данное утверждение неверно.

Проверим утверждение $x + y < 3$.
Мы доказали, что $x + y < 1$. Любое число, которое меньше 1, также меньше и 3. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: $x + y < 1$ — верно; $x + y < 0$ — неверно; $x + y < 3$ — верно.