Номер 54, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 54, страница 23.

54 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что:

a) если $x > 10$ и $y > 20$, то $xy > 200$; $xy > 100$; $xy > 300$;

б) если $0 < x < 2$ и $0 < y < 5$, то $xy < 10$; $xy < 12$; $xy < 9$?

а) Даны условия $x > 10$ и $y > 20$. Поскольку обе части неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить, сохраняя знак неравенства: $x \cdot y > 10 \cdot 20$, что дает $xy > 200$.
Проверим каждое утверждение:

• $xy > 200$: Это утверждение следует непосредственно из умножения исходных неравенств. Следовательно, оно верно.
• $xy > 100$: Поскольку мы установили, что $xy > 200$, а $200 > 100$, то по свойству транзитивности неравенство $xy > 100$ также является верным.
• $xy > 300$: Это утверждение не всегда является верным. Чтобы это показать, достаточно привести контрпример. Пусть $x = 11$ (что больше 10) и $y = 21$ (что больше 20). Тогда их произведение $xy = 11 \cdot 21 = 231$. Неравенство $231 > 300$ ложно. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: $xy > 200$ - верно; $xy > 100$ - верно; $xy > 300$ - неверно.

б) Даны условия $0 < x < 2$ и $0 < y < 5$. Поскольку все переменные положительны, мы можем почленно перемножить эти двойные неравенства: $0 \cdot 0 < x \cdot y < 2 \cdot 5$, что дает $0 < xy < 10$.
Проверим каждое утверждение:

• $xy < 10$: Это утверждение следует непосредственно из умножения исходных неравенств ($0 < xy < 10$ означает, что $xy < 10$). Следовательно, оно верно.
• $xy < 12$: Мы установили, что $xy < 10$. Так как $10 < 12$, то по свойству транзитивности неравенство $xy < 12$ также является верным.
• $xy < 9$: Это утверждение не всегда верно. Можно найти значения $x$ и $y$, удовлетворяющие условиям, для которых произведение будет больше или равно 9. Например, пусть $x = 1,9$ (удовлетворяет $0 < x < 2$) и $y = 4,9$ (удовлетворяет $0 < y < 5$). Тогда их произведение $xy = 1,9 \cdot 4,9 = 9,31$. Неравенство $9,31 < 9$ ложно. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: $xy < 10$ - верно; $xy < 12$ - верно; $xy < 9$ - неверно.