Номер 25, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 25, страница 14.

ДОКАЗЫВАЕМ (25–26)

25 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на 0) есть число рациональное.

Образец. Докажем, что сумма двух рациональных чисел есть число рациональное. Возьмём два рациональных числа $\frac{p}{q}$ и $\frac{r}{s}$, где $p, q, r, s$ — целые числа, и найдём их сумму:

$\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}$

Числа $ps + qr$ и $qs$ — целые (объясните почему), следовательно, число $\frac{ps + qr}{qs}$, которое является их частным, есть число рациональное.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число (или, в более общем виде, $n$ — ненулевое целое число).

Возьмём два произвольных рациональных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде дробей: $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, q, r, s$ — целые числа, причём $q \ne 0$ и $s \ne 0$.

Сумма

Найдём сумму двух рациональных чисел $a$ и $b$: $a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s}$

Приводим дроби к общему знаменателю $qs$: $\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps}{qs} + \frac{qr}{qs} = \frac{ps + qr}{qs}$

Рассмотрим полученную дробь. Числитель $ps + qr$ является целым числом, так как произведение целых чисел ($ps$ и $qr$) является целым числом, и сумма целых чисел также является целым числом. Знаменатель $qs$ является целым числом, так как это произведение двух целых чисел. Кроме того, поскольку $q \ne 0$ и $s \ne 0$, их произведение $qs \ne 0$.

Таким образом, сумма $\frac{ps + qr}{qs}$ является отношением целого числа к ненулевому целому числу, а значит, по определению, является рациональным числом.

Ответ: Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Разность

Найдём разность двух рациональных чисел $a$ и $b$: $a - b = \frac{p}{q} - \frac{r}{s}$

Приводим дроби к общему знаменателю $qs$: $\frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{ps}{qs} - \frac{qr}{qs} = \frac{ps - qr}{qs}$

Числитель $ps - qr$ является целым числом, так как произведения $ps$ и $qr$ — целые, и их разность также целая. Знаменатель $qs$ — ненулевое целое число, как было показано ранее.

Следовательно, разность $\frac{ps - qr}{qs}$ является рациональным числом.

Ответ: Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдём произведение двух рациональных чисел $a$ и $b$: $a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p \cdot r}{q \cdot s} = \frac{pr}{qs}$

Числитель $pr$ является целым числом, так как это произведение двух целых чисел. Знаменатель $qs$ — ненулевое целое число.

Следовательно, произведение $\frac{pr}{qs}$ является рациональным числом.

Ответ: Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдём частное двух рациональных чисел $a$ и $b$, при условии, что делитель $b$ не равен нулю ($b \ne 0$). Если $b = \frac{r}{s} \ne 0$, то это означает, что не только $s \ne 0$, но и $r \ne 0$.

$a : b = \frac{p}{q} : \frac{r}{s}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $\frac{p}{q} : \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} = \frac{ps}{qr}$

Рассмотрим полученную дробь. Числитель $ps$ является целым числом (произведение целых). Знаменатель $qr$ является целым числом (произведение целых). Так как $q \ne 0$ и $r \ne 0$, их произведение $qr \ne 0$.

Следовательно, частное $\frac{ps}{qr}$ является рациональным числом.

Ответ: Частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на 0) является рациональным числом.