Номер 82, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 82, страница 31.

82 a) $\frac{2y}{3} - \frac{y}{6} < 1;$

б) $\frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4};$

в) $\frac{2z + 9}{5} \ge \frac{1 - 3z}{7};$

г) $\frac{4x + 1}{2} > \frac{7x - 30}{6};$

д) $\frac{y + 17}{4} < \frac{3(10 + y)}{5};$

е) $\frac{2(z - 2)}{9} \le \frac{3 + z}{7}.$

а) Исходное неравенство: $\frac{2y}{3} - \frac{y}{6} < 1$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не меняется.
$6 \cdot \left(\frac{2y}{3} - \frac{y}{6}\right) < 6 \cdot 1$
$6 \cdot \frac{2y}{3} - 6 \cdot \frac{y}{6} < 6$
$2 \cdot 2y - y < 6$
$4y - y < 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3y < 6$
Разделим обе части на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства не меняется.
$y < \frac{6}{3}$
$y < 2$
Ответ: $y < 2$ (или $y \in (-\infty; 2)$).

б) Исходное неравенство: $\frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4}$.
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12.
$12 \cdot \frac{12 - 2x}{3} > 12 \cdot \frac{3x - 1}{4}$
$4(12 - 2x) > 3(3x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$48 - 8x > 9x - 3$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую, меняя знаки при переносе:
$48 + 3 > 9x + 8x$
$51 > 17x$
Разделим обе части на 17. Так как 17 > 0, знак неравенства не меняется.
$\frac{51}{17} > x$
$3 > x$, что эквивалентно $x < 3$.
Ответ: $x < 3$ (или $x \in (-\infty; 3)$).

в) Исходное неравенство: $\frac{2z + 9}{5} \ge \frac{1 - 3z}{7}$.
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 7, то есть на 35.
$35 \cdot \frac{2z + 9}{5} \ge 35 \cdot \frac{1 - 3z}{7}$
$7(2z + 9) \ge 5(1 - 3z)$
Раскроем скобки:
$14z + 63 \ge 5 - 15z$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$14z + 15z \ge 5 - 63$
$29z \ge -58$
Разделим обе части на 29:
$z \ge \frac{-58}{29}$
$z \ge -2$
Ответ: $z \ge -2$ (или $z \in [-2; +\infty)$).

г) Исходное неравенство: $\frac{4x + 1}{2} > \frac{7x - 30}{6}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$6 \cdot \frac{4x + 1}{2} > 6 \cdot \frac{7x - 30}{6}$
$3(4x + 1) > 7x - 30$
Раскроем скобки:
$12x + 3 > 7x - 30$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$12x - 7x > -30 - 3$
$5x > -33$
Разделим обе части на 5:
$x > -\frac{33}{5}$
$x > -6.6$
Ответ: $x > -6.6$ (или $x \in (-6.6; +\infty)$).

д) Исходное неравенство: $\frac{y + 17}{4} < \frac{3(10 + y)}{5}$.
Сначала раскроем скобки в числителе правой части: $\frac{y + 17}{4} < \frac{30 + 3y}{5}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 20:
$20 \cdot \frac{y + 17}{4} < 20 \cdot \frac{30 + 3y}{5}$
$5(y + 17) < 4(30 + 3y)$
Раскроем скобки:
$5y + 85 < 120 + 12y$
Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$85 - 120 < 12y - 5y$
$-35 < 7y$
Разделим обе части на 7:
$\frac{-35}{7} < y$
$-5 < y$, что эквивалентно $y > -5$.
Ответ: $y > -5$ (или $y \in (-5; +\infty)$).

е) Исходное неравенство: $\frac{2(z - 2)}{9} \le \frac{3 + z}{7}$.
Раскроем скобки в числителе левой части: $\frac{2z - 4}{9} \le \frac{3 + z}{7}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 63:
$63 \cdot \frac{2z - 4}{9} \le 63 \cdot \frac{3 + z}{7}$
$7(2z - 4) \le 9(3 + z)$
Раскроем скобки:
$14z - 28 \le 27 + 9z$
Перенесем слагаемые с $z$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$14z - 9z \le 27 + 28$
$5z \le 55$
Разделим обе части на 5:
$z \le \frac{55}{5}$
$z \le 11$
Ответ: $z \le 11$ (или $z \in (-\infty; 11]$).