Номер 75, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 75, страница 29.

75 Подберите какие-нибудь два числа, являющиеся решениями данного неравенства, и два числа, не являющиеся его решениями:

а) $x < 5x;$

б) $\frac{1}{y} > y;$

в) $a > -a^2.$

а) $x < 5x$

Чтобы найти подходящие числа, сначала решим это неравенство. Для этого перенесем все члены с переменной в одну часть:
$5x - x > 0$
$4x > 0$
Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x > 0$
Таким образом, решением неравенства является любое положительное число.

Подберем два числа, являющиеся решениями (любые числа больше 0):
- Пусть $x = 1$. Проверяем: $1 < 5 \cdot 1 \implies 1 < 5$. Неравенство верно.
- Пусть $x = 10$. Проверяем: $10 < 5 \cdot 10 \implies 10 < 50$. Неравенство верно.

Подберем два числа, не являющиеся решениями (любые числа, которые меньше или равны 0):
- Пусть $x = 0$. Проверяем: $0 < 5 \cdot 0 \implies 0 < 0$. Неравенство неверно.
- Пусть $x = -1$. Проверяем: $-1 < 5 \cdot (-1) \implies -1 < -5$. Неравенство неверно.

Ответ: числа, являющиеся решениями: 1 и 10; числа, не являющиеся решениями: 0 и -1.

б) $\frac{1}{y} > y$

Решим данное неравенство. Область допустимых значений: $y \neq 0$. Нельзя просто умножить обе части на $y$, так как знак $y$ неизвестен. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $y > 0$
Умножаем обе части на $y$, знак неравенства сохраняется:
$1 > y^2$
$y^2 < 1$
Решением этого неравенства является интервал $-1 < y < 1$. Учитывая условие $y > 0$, получаем решение для первого случая: $0 < y < 1$.

Случай 2: $y < 0$
Умножаем обе части на $y$, знак неравенства меняется на противоположный:
$1 < y^2$
$y^2 > 1$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $y < -1$ или $y > 1$. Учитывая условие $y < 0$, получаем решение для второго случая: $y < -1$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется при $y \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Подберем два числа, являющиеся решениями:
- Пусть $y = 0.5$ (из интервала $(0, 1)$). Проверяем: $\frac{1}{0.5} > 0.5 \implies 2 > 0.5$. Неравенство верно.
- Пусть $y = -2$ (из интервала $(-\infty, -1)$). Проверяем: $\frac{1}{-2} > -2 \implies -0.5 > -2$. Неравенство верно.

Подберем два числа, не являющиеся решениями (из области $[-1, 0) \cup [1, \infty)$):
- Пусть $y = 2$. Проверяем: $\frac{1}{2} > 2 \implies 0.5 > 2$. Неравенство неверно.
- Пусть $y = -0.5$. Проверяем: $\frac{1}{-0.5} > -0.5 \implies -2 > -0.5$. Неравенство неверно.

Ответ: числа, являющиеся решениями: 0.5 и -2; числа, не являющиеся решениями: 2 и -0.5.

в) $a > -a^2$

Для решения неравенства перенесем все члены в левую часть:
$a + a^2 > 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a+1) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $a(a+1)=0$. Корни: $a_1=0$ и $a_2=-1$.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, \infty)$. Определим знак выражения $a(a+1)$ в каждом интервале:
- При $a < -1$ (например, $a=-2$): $(-2)(-2+1) = 2 > 0$. Интервал подходит.
- При $-1 < a < 0$ (например, $a=-0.5$): $(-0.5)(-0.5+1) = -0.25 < 0$. Интервал не подходит.
- При $a > 0$ (например, $a=1$): $1(1+1) = 2 > 0$. Интервал подходит.
Таким образом, решение неравенства: $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Подберем два числа, являющиеся решениями:
- Пусть $a = 1$ (из интервала $(0, \infty)$). Проверяем: $1 > -(1^2) \implies 1 > -1$. Неравенство верно.
- Пусть $a = -2$ (из интервала $(-\infty, -1)$). Проверяем: $-2 > -((-2)^2) \implies -2 > -4$. Неравенство верно.

Подберем два числа, не являющиеся решениями (из отрезка $[-1, 0]$):
- Пусть $a = 0$. Проверяем: $0 > -(0^2) \implies 0 > 0$. Неравенство неверно.
- Пусть $a = -1$. Проверяем: $-1 > -((-1)^2) \implies -1 > -1$. Неравенство неверно.

Ответ: числа, являющиеся решениями: 1 и -2; числа, не являющиеся решениями: 0 и -1.