Номер 76, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 76, страница 30.

76 Объясните, как из первого неравенства получить второе, ему равносильное:

а) $x - 2 < 3$; $x < 5$;

б) $3u \le 12$; $u \le 4$;

в) $\frac{y}{3} < 2$; $y < 6$;

г) $-y > 8$; $y < -8$;

д) $-7y \ge 2$; $y \le -\frac{2}{7}$;

е) $-\frac{t}{5} \le 0,1$; $t \ge -0,5$;

ж) $\frac{x+2}{4} < 1$; $x < 2$;

з) $2u + 1 \le 5$; $u \le 2$.

а) Исходное неравенство: $x - 2 < 3$. Чтобы выделить переменную $x$, необходимо перенести член $-2$ в правую часть неравенства с противоположным знаком. Это равносильно прибавлению числа 2 к обеим частям неравенства. Знак неравенства при этом не изменяется.
$x - 2 + 2 < 3 + 2$
$x < 5$
Таким образом, мы получили второе, равносильное первому, неравенство.
Ответ: $x < 5$

б) Исходное неравенство: $3u \le 12$. Чтобы найти $u$, нужно разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, то есть на 3. Поскольку 3 является положительным числом, знак неравенства $\le$ сохраняется.
$\frac{3u}{3} \le \frac{12}{3}$
$u \le 4$
Это и есть искомое равносильное неравенство.
Ответ: $u \le 4$

в) Исходное неравенство: $\frac{y}{3} < 2$. Чтобы выделить переменную $y$, нужно умножить обе части неравенства на знаменатель дроби, то есть на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства $<$ не меняется.
$\frac{y}{3} \cdot 3 < 2 \cdot 3$
$y < 6$
Получили второе неравенство.
Ответ: $y < 6$

г) Исходное неравенство: $-y > 8$. Чтобы найти $y$, нужно умножить или разделить обе части неравенства на -1. Согласно свойству неравенств, при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае знак $>$ меняется на $<$).
$-y \cdot (-1) < 8 \cdot (-1)$
$y < -8$
Так мы получаем второе неравенство.
Ответ: $y < -8$

д) Исходное неравенство: $-7y \ge 2$. Чтобы найти $y$, разделим обе части неравенства на -7. Так как мы делим на отрицательное число, необходимо поменять знак неравенства с $\ge$ на $\le$.
$\frac{-7y}{-7} \le \frac{2}{-7}$
$y \le -\frac{2}{7}$
Второе неравенство получено.
Ответ: $y \le -\frac{2}{7}$

е) Исходное неравенство: $-\frac{t}{5} \le 0,1$. Чтобы выделить переменную $t$, можно умножить обе части неравенства на -5. При умножении на отрицательное число знак неравенства $\le$ меняется на противоположный, то есть на $\ge$.
$-\frac{t}{5} \cdot (-5) \ge 0,1 \cdot (-5)$
$t \ge -0,5$
Это и есть искомое неравенство.
Ответ: $t \ge -0,5$

ж) Исходное неравенство: $\frac{x + 2}{4} < 1$. Сначала умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется, так как 4 > 0.
$(x + 2) < 1 \cdot 4$
$x + 2 < 4$
Теперь перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком (вычтем 2 из обеих частей).
$x < 4 - 2$
$x < 2$
Получили второе неравенство.
Ответ: $x < 2$

з) Исходное неравенство: $2u + 1 \le 5$. Сначала перенесем 1 в правую часть (вычтем 1 из обеих частей). Знак неравенства не меняется.
$2u \le 5 - 1$
$2u \le 4$
Теперь разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется, так как 2 > 0.
$\frac{2u}{2} \le \frac{4}{2}$
$u \le 2$
Таким образом, мы получили второе неравенство.
Ответ: $u \le 2$