Номер 73, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 73, страница 25.

73 ИССЛЕДУЕМ

1) Дано: $m > n$. Поэкспериментируйте с числами и сделайте вывод о неравенствах, связывающих числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$. (Рассмотрите случаи: $m > 0$ и $n > 0$; $m < 0$ и $n < 0$; $m > 0$ и $n < 0$.)

2) Дано: $m > n, p > m, q < n$ и все эти числа положительные. Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{m}, \frac{1}{n}, \frac{1}{p}, \frac{1}{q}$.

3) Оцените $\frac{1}{y}$ и $\frac{x}{y}$, если $9 < x < 10, 2 < y < 3$.

1)

Дано неравенство $m > n$. Исследуем, как связано это неравенство с неравенством для обратных величин $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$. Общее правило заключается в том, что при делении или умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении или умножении на отрицательное — меняется на противоположный.

Случай $m > 0$ и $n > 0$:
В этом случае оба числа положительны, значит, их произведение $mn$ также положительно. Мы можем разделить обе части неравенства $m > n$ на положительное число $mn$, не меняя знака неравенства.
$m > n$
$\frac{m}{mn} > \frac{n}{mn}$
Сократив дроби, получаем:
$\frac{1}{n} > \frac{1}{m}$ или, что то же самое, $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Пример: Возьмем $m = 4$ и $n = 2$. Очевидно, $4 > 2$. Их обратные величины: $\frac{1}{m} = \frac{1}{4} = 0.25$ и $\frac{1}{n} = \frac{1}{2} = 0.5$. Видим, что $0.25 < 0.5$, то есть $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Вывод: для положительных чисел, если одно число больше другого, то его обратная величина будет меньше.

Случай $m < 0$ и $n < 0$:
В этом случае дано $m > n$, и оба числа отрицательны. Например, $m=-2, n=-5$. Произведение $mn$ двух отрицательных чисел является положительным числом. Поэтому мы снова можем разделить неравенство $m > n$ на $mn$, сохранив знак.
$m > n$
$\frac{m}{mn} > \frac{n}{mn}$
$\frac{1}{n} > \frac{1}{m}$, то есть $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Пример: Возьмем $m = -2$ и $n = -5$. Условие $m > n$ выполняется, так как $-2 > -5$. Их обратные величины: $\frac{1}{m} = \frac{1}{-2} = -0.5$ и $\frac{1}{n} = \frac{1}{-5} = -0.2$. Сравнивая их, видим, что $-0.5 < -0.2$, то есть $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Вывод: для отрицательных чисел, так же как и для положительных, если одно число больше другого, то его обратная величина будет меньше.

Случай $m > 0$ и $n < 0$:
Здесь $m$ — положительное число, а $n$ — отрицательное. Условие $m > n$ в этом случае выполняется всегда. Обратная величина для положительного числа $m$, то есть $\frac{1}{m}$, будет положительной. Обратная величина для отрицательного числа $n$, то есть $\frac{1}{n}$, будет отрицательной. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.
Следовательно, $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$.
Пример: Возьмем $m = 2$ и $n = -3$. Условие $m > n$ выполняется, так как $2 > -3$. Их обратные величины: $\frac{1}{m} = \frac{1}{2}$ (положительное) и $\frac{1}{n} = -\frac{1}{3}$ (отрицательное). Очевидно, что $\frac{1}{2} > -\frac{1}{3}$.
Вывод: если числа имеют разные знаки, знак неравенства для обратных величин совпадает со знаком исходного неравенства.

Ответ: Если $m$ и $n$ одного знака (оба положительны или оба отрицательны) и $m > n$, то $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$. Если $m$ и $n$ разных знаков, то из $m > n$ следует, что $m > 0$ и $n < 0$, и тогда $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$.

2)

Нам дано, что все числа $m, n, p, q$ положительные. Также даны следующие соотношения: $m > n$, $p > m$, $q < n$. Сначала упорядочим сами числа $m, n, p, q$. Из $p > m$ и $m > n$ следует, что $p > m > n$. Из $q < n$ следует, что $q$ меньше, чем $n$. Объединяя все неравенства, получаем единую цепочку: $p > m > n > q$. Поскольку все эти числа положительны, мы можем применить свойство, установленное в задаче 1: для положительных чисел большему значению соответствует меньшее обратное значение. Применяя это правило к цепочке $p > m > n > q > 0$, мы получим для обратных величин неравенство с противоположными знаками: $\frac{1}{p} < \frac{1}{m} < \frac{1}{n} < \frac{1}{q}$. Это и есть искомый порядок возрастания.

Ответ: $\frac{1}{p}, \frac{1}{m}, \frac{1}{n}, \frac{1}{q}$.

3)

Даны интервалы для $x$ и $y$: $9 < x < 10$ и $2 < y < 3$. Нам нужно оценить (найти границы) для выражений $\frac{1}{y}$ и $\frac{x}{y}$.

Оценка $\frac{1}{y}$:
Мы имеем неравенство $2 < y < 3$. Все части неравенства положительны. При взятии обратной величины от всех частей двойного неравенства знаки неравенства меняются на противоположные (как показано в задаче 1). Таким образом, из $2 < y < 3$ следует, что $\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$.

Оценка $\frac{x}{y}$:
Рассмотрим выражение $\frac{x}{y}$ как произведение $x \cdot \frac{1}{y}$. У нас есть оценки для обоих сомножителей: $9 < x < 10$
$\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$
Так как все значения в этих неравенствах положительны, мы можем их "почленно" перемножить. Чтобы найти нижнюю границу для $\frac{x}{y}$, нужно перемножить нижние границы для $x$ и $\frac{1}{y}$. Чтобы найти верхнюю границу, нужно перемножить их верхние границы.
Нижняя граница: $9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.
Верхняя граница: $10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.
В результате получаем следующую оценку для дроби: $3 < \frac{x}{y} < 5$.

Ответ: $\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$; $3 < \frac{x}{y} < 5$.