Номер 78, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 78, страница 30.

78 Составьте пять неравенств, множеством решений каждого из которых служит промежуток $x > -3$.

Чтобы составить неравенства, множеством решений которых является промежуток $x > -3$, можно использовать различные алгебраические преобразования исходного неравенства. Главное правило — при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. Рассмотрим пять примеров.

1. Составим простое линейное неравенство. Для этого к обеим частям исходного неравенства $x > -3$ прибавим любое число, например, 10.

$x + 10 > -3 + 10$

$x + 10 > 7$

Теперь решим получившееся неравенство, чтобы убедиться, что его решение $x > -3$.

$x + 10 > 7$

Перенесем 10 в правую часть с противоположным знаком:

$x > 7 - 10$

$x > -3$

Решение совпадает с требуемым.

Ответ: $x + 10 > 7$

2. Составим неравенство, умножив обе части исходного неравенства $x > -3$ на положительное число, например, на 3. Знак неравенства при этом не изменится.

$3 \cdot x > 3 \cdot (-3)$

$3x > -9$

Проверим решение:

$3x > -9$

Разделим обе части на 3 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$x > \frac{-9}{3}$

$x > -3$

Решение совпадает с требуемым.

Ответ: $3x > -9$

3. Теперь составим неравенство, умножив обе части исходного неравенства $x > -3$ на отрицательное число, например, на -1. При этом необходимо изменить знак неравенства на противоположный (с «>» на «<»).

$-1 \cdot x < -1 \cdot (-3)$

$-x < 3$

Проверим решение:

$-x < 3$

Умножим обе части на -1 и снова изменим знак неравенства на противоположный (с «<» на «>»):

$x > -3$

Решение совпадает с требуемым.

Ответ: $-x < 3$

4. Усложним задачу, применив несколько преобразований. Возьмем исходное неравенство $x > -3$. Сначала вычтем из обеих частей число 2, а затем умножим на 5.

$x - 2 > -3 - 2$

$x - 2 > -5$

$5(x - 2) > 5(-5)$

$5x - 10 > -25$

Проверим решение:

$5x - 10 > -25$

Прибавим к обеим частям 10:

$5x > -25 + 10$

$5x > -15$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{-15}{5}$

$x > -3$

Решение совпадает с требуемым.

Ответ: $5x - 10 > -25$

5. Составим неравенство, в котором переменная $x$ находится в обеих частях. Мы хотим получить неравенство вида $ax+b > cx+d$, которое сводится к $x > -3$. Это значит, что после переноса слагаемых мы должны получить неравенство $(a-c)x > d-b$. Если $(a-c) > 0$, то $\frac{d-b}{a-c} = -3$.

Пусть $a-c=2$. Например, возьмем $a=4$ и $c=2$.

Тогда $d-b$ должно быть равно $2 \cdot (-3) = -6$.

Пусть $d=1$. Тогда $1-b=-6$, откуда $b=7$.

Получаем неравенство: $4x + 7 > 2x + 1$.

Проверим решение:

$4x + 7 > 2x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$4x - 2x > 1 - 7$

$2x > -6$

Разделим обе части на 2:

$x > -3$

Решение совпадает с требуемым.

Ответ: $4x + 7 > 2x + 1$