Номер 83, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 83, страница 31.

83 a) $12 - y < \frac{5(y - 1)}{6};$

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3;$

в) $\frac{3z + 6}{5} - \frac{3z - 8}{4} \ge 2;$

г) $10z - \frac{9(3z + 7)}{4} > 33;$

д) $\frac{1 + 8x}{11} \ge 10 - \frac{3x + 2}{2};$

е) $\frac{y - 4}{3} - 2 < \frac{y}{2};$

а) $12 - y < \frac{5(y - 1)}{6}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (12 - y) < 6 \cdot \frac{5(y - 1)}{6}$

$72 - 6y < 5(y - 1)$

Раскроем скобки:

$72 - 6y < 5y - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую, изменив их знаки на противоположные:

$72 + 5 < 5y + 6y$

$77 < 11y$

Разделим обе части неравенства на 11 (знак неравенства не меняется, так как 11 > 0):

$\frac{77}{11} < y$

$7 < y$

Или, что то же самое, $y > 7$.

Ответ: $y \in (7; +\infty)$

---

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3$

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5 \cdot \frac{3(4x + 3)}{5} > 5 \cdot (4x - 3)$

$3(4x + 3) > 20x - 15$

Раскроем скобки в левой части:

$12x + 9 > 20x - 15$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$9 + 15 > 20x - 12x$

$24 > 8x$

Разделим обе части на 8:

$3 > x$

Или $x < 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$

---

в) $\frac{3z + 6}{5} - \frac{3z - 8}{4} \geq 2$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей. НОК(5, 4) = 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot \frac{3z + 6}{5} - 20 \cdot \frac{3z - 8}{4} \geq 20 \cdot 2$

$4(3z + 6) - 5(3z - 8) \geq 40$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$12z + 24 - 15z + 40 \geq 40$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(12z - 15z) + (24 + 40) \geq 40$

$-3z + 64 \geq 40$

Перенесем 64 в правую часть:

$-3z \geq 40 - 64$

$-3z \geq -24$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$z \leq \frac{-24}{-3}$

$z \leq 8$

Ответ: $z \in (-\infty; 8]$

---

г) $10z - \frac{9(3z + 7)}{4} > 33$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4 \cdot 10z - 4 \cdot \frac{9(3z + 7)}{4} > 4 \cdot 33$

$40z - 9(3z + 7) > 132$

Раскроем скобки:

$40z - 27z - 63 > 132$

Приведем подобные слагаемые:

$13z - 63 > 132$

Перенесем -63 в правую часть:

$13z > 132 + 63$

$13z > 195$

Разделим обе части на 13:

$z > \frac{195}{13}$

$z > 15$

Ответ: $z \in (15; +\infty)$

---

д) $\frac{1 + 8x}{11} \geq 10 - \frac{3x + 2}{2}$

Наименьший общий знаменатель дробей — НОК(11, 2) = 22. Умножим обе части неравенства на 22:

$22 \cdot \frac{1 + 8x}{11} \geq 22 \cdot 10 - 22 \cdot \frac{3x + 2}{2}$

$2(1 + 8x) \geq 220 - 11(3x + 2)$

Раскроем скобки:

$2 + 16x \geq 220 - 33x - 22$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$2 + 16x \geq 198 - 33x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$16x + 33x \geq 198 - 2$

$49x \geq 196$

Разделим обе части на 49:

$x \geq \frac{196}{49}$

$x \geq 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$

---

е) $\frac{y - 4}{3} - 2 < \frac{y}{2}$

Наименьший общий знаменатель — НОК(3, 2) = 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot \frac{y - 4}{3} - 6 \cdot 2 < 6 \cdot \frac{y}{2}$

$2(y - 4) - 12 < 3y$

Раскроем скобки:

$2y - 8 - 12 < 3y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2y - 20 < 3y$

Перенесем $2y$ в правую часть:

$-20 < 3y - 2y$

$-20 < y$

Или $y > -20$.

Ответ: $y \in (-20; +\infty)$