Номер 85, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 85, страница 31.

85 Определите, при каких значениях аргумента график функции $y = f(x)$ расположен выше графика функции $y = g(x)$, а при каких — ниже (выполните задание двумя способами: решив неравенство и построив в одной системе координат графики данных функций):

а) $f(x) = 2x - 1$, $g(x) = -2x + 1$;

б) $f(x) = 0,5x$, $g(x) = 3 - x$.

а) $f(x) = 2x - 1$, $g(x) = -2x + 1$

Способ 1: Решение неравенства.

Чтобы определить, при каких значениях аргумента $x$ график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$, необходимо решить неравенство $f(x) > g(x)$:
$2x - 1 > -2x + 1$
$2x + 2x > 1 + 1$
$4x > 2$
$x > \frac{2}{4}$
$x > 0.5$

Чтобы определить, при каких значениях $x$ график функции $f(x)$ расположен ниже графика функции $g(x)$, необходимо решить неравенство $f(x) < g(x)$:
$2x - 1 < -2x + 1$
$4x < 2$
$x < 0.5$

Способ 2: Графический способ.

Построим графики функций $y = 2x - 1$ и $y = -2x + 1$ в одной системе координат. Обе функции являются линейными, их графики — прямые.

Для построения прямой $y = 2x - 1$ найдем две точки:
При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Для построения прямой $y = -2x + 1$ найдем две точки:
При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
При $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 + 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Точка пересечения графиков соответствует равенству $f(x) = g(x)$, то есть $x = 0.5$. Координата $y$ в этой точке: $y = 2 \cdot 0.5 - 1 = 0$. Точка пересечения — $(0.5, 0)$.

Начертив оба графика, можно увидеть, что прямая $y = 2x - 1$ находится выше прямой $y = -2x + 1$ справа от точки их пересечения, то есть при $x > 0.5$. Соответственно, ниже — слева от точки пересечения, то есть при $x < 0.5$.

Ответ: график функции $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$ при $x \in (0.5; +\infty)$, а ниже — при $x \in (-\infty; 0.5)$.

---

б) $f(x) = 0.5x$, $g(x) = 3 - x$

Способ 1: Решение неравенства.

График $f(x)$ выше графика $g(x)$ при $f(x) > g(x)$:
$0.5x > 3 - x$
$0.5x + x > 3$
$1.5x > 3$
$x > \frac{3}{1.5}$
$x > 2$

График $f(x)$ ниже графика $g(x)$ при $f(x) < g(x)$:
$0.5x < 3 - x$
$1.5x < 3$
$x < 2$

Способ 2: Графический способ.

Построим графики функций $y = 0.5x$ и $y = 3 - x$.

Для построения прямой $y = 0.5x$ найдем две точки:
При $x = 0$, $y = 0.5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Для построения прямой $y = 3 - x$ найдем две точки:
При $x = 0$, $y = 3 - 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.
При $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Точка пересечения графиков находится из условия $f(x) = g(x)$, то есть при $x = 2$. Координата $y$ в этой точке: $y = 0.5 \cdot 2 = 1$. Точка пересечения — $(2, 1)$.

При построении графиков видно, что прямая $y = 0.5x$ проходит выше прямой $y = 3 - x$ справа от точки пересечения, то есть при $x > 2$. Ниже — слева от точки пересечения, то есть при $x < 2$.

Ответ: график функции $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$ при $x \in (2; +\infty)$, а ниже — при $x \in (-\infty; 2)$.