Номер 92, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 92, страница 32.

92 Приведите неравенство к виду $0x \le b$ и укажите множество его решений:

а) $3x - (x - 1) \le \frac{1}{3}(6x + 3);$

б) $7(x + \frac{3}{2}) - x \le 6x - 19;$

в) $2(3x + 1) + x - 2 \le 4x + 5 - 3(1 - x);$

г) $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \le 5(x + 1)(x - 1).$

а) $3x - (x - 1) \le \frac{1}{3}(6x + 3)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3x - x + 1 \le \frac{1}{3} \cdot 6x + \frac{1}{3} \cdot 3$

Теперь упростим полученные выражения:

$2x + 1 \le 2x + 1$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а постоянные члены — в правую часть:

$2x - 2x \le 1 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$0x \le 0$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = 0$. Полученное неравенство $0 \le 0$ является верным. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Множество решений — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

б) $7(x + \frac{3}{2}) - x \le 6x - 19$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$7x + 7 \cdot \frac{3}{2} - x \le 6x - 19$

Упростим левую часть:

$6x + \frac{21}{2} \le 6x - 19$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - 6x \le -19 - \frac{21}{2}$

Приведем подобные слагаемые и вычислим правую часть:

$0x \le -\frac{38}{2} - \frac{21}{2}$

$0x \le -\frac{59}{2}$

$0x \le -29.5$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = -29.5$. Полученное неравенство $0 \le -29.5$ является ложным, так как ноль больше любого отрицательного числа. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Множество решений — пустое множество.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений)

в) $2(3x + 1) + x - 2 \le 4x + 5 - 3(1 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6x + 2 + x - 2 \le 4x + 5 - 3 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$7x \le 7x + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$7x - 7x \le 2$

Упростим левую часть:

$0x \le 2$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = 2$. Полученное неравенство $0 \le 2$ является верным. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.

Множество решений — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

г) $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \le 5(x + 1)(x - 1)$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и разность квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

Раскроем скобки:

$( (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 ) + ( x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 ) \le 5(x^2 - 1^2)$

$(4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 4x + 4) \le 5(x^2 - 1)$

Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:

$5x^2 + 5 \le 5x^2 - 5$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$5x^2 - 5x^2 \le -5 - 5$

$0x^2 \le -10$

Так как $0x^2 = 0$ для любого $x$, мы можем записать неравенство в требуемом виде:

$0x \le -10$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = -10$. Полученное неравенство $0 \le -10$ является ложным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Множество решений — пустое множество.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений)