Номер 93, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 93, страница 33.

93 Решите неравенство:

a) $\frac{2-x}{6} + \frac{x+7}{15} < \frac{8-x}{2}$;

б) $\frac{2z+1}{18} - \frac{z+2}{9} > \frac{z-6}{6}$;

в) $\frac{19}{4} - \frac{5y+16}{3} \le \frac{3y+1}{4} - 2y$;

г) $\frac{z-3}{8} + \frac{3z-37}{2} \le \frac{25-z}{4} + 3$;

д) $\frac{5y-9}{10} - \frac{5-6y}{5} \ge \frac{10y-9}{14} - \frac{3-4y}{7}$;

е) $\frac{x+5}{5} - \frac{x+4}{3} + \frac{x-1}{2} > x-4$;

ж) $\frac{y-4}{2} - \frac{y-3}{3} \le \frac{2(y-2)}{3} - \frac{y+1}{2}$;

3) $3z + \frac{3-2z}{2} \ge z - \frac{1-5z}{5}$.

а)

Исходное неравенство: $\frac{2 - x}{6} + \frac{x + 7}{15} < \frac{8 - x}{2}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 6, 15 и 2. Это 30.
Умножим обе части неравенства на 30, чтобы избавиться от дробей: $30 \cdot \frac{2 - x}{6} + 30 \cdot \frac{x + 7}{15} < 30 \cdot \frac{8 - x}{2}$
$5(2 - x) + 2(x + 7) < 15(8 - x)$
Раскроем скобки: $10 - 5x + 2x + 14 < 120 - 15x$
Приведем подобные слагаемые в каждой части: $24 - 3x < 120 - 15x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $-3x + 15x < 120 - 24$
$12x < 96$
Разделим обе части на 12: $x < 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{2z + 1}{18} - \frac{z + 2}{9} > \frac{z - 6}{6}$.
Наименьший общий знаменатель для 18, 9 и 6 равен 18.
Умножим обе части неравенства на 18: $18 \cdot \frac{2z + 1}{18} - 18 \cdot \frac{z + 2}{9} > 18 \cdot \frac{z - 6}{6}$
$1(2z + 1) - 2(z + 2) > 3(z - 6)$
Раскроем скобки: $2z + 1 - 2z - 4 > 3z - 18$
Приведем подобные слагаемые: $-3 > 3z - 18$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую: $-3z > -18 + 3$
$-3z > -15$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный: $z < \frac{-15}{-3}$
$z < 5$
Ответ: $z \in (-\infty; 5)$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{19}{4} - \frac{5y + 16}{3} \le \frac{3y + 1}{4} - 2y$.
Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.
Умножим обе части неравенства на 12: $12 \cdot \frac{19}{4} - 12 \cdot \frac{5y + 16}{3} \le 12 \cdot \frac{3y + 1}{4} - 12 \cdot 2y$
$3 \cdot 19 - 4(5y + 16) \le 3(3y + 1) - 24y$
Раскроем скобки: $57 - 20y - 64 \le 9y + 3 - 24y$
Приведем подобные слагаемые: $-7 - 20y \le -15y + 3$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую: $-20y + 15y \le 3 + 7$
$-5y \le 10$
Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный: $y \ge \frac{10}{-5}$
$y \ge -2$
Ответ: $y \in [-2; +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{z - 3}{8} + \frac{3z - 37}{2} \le \frac{25 - z}{4} + 3$.
Наименьший общий знаменатель для 8, 2 и 4 равен 8.
Умножим обе части неравенства на 8: $8 \cdot \frac{z - 3}{8} + 8 \cdot \frac{3z - 37}{2} \le 8 \cdot \frac{25 - z}{4} + 8 \cdot 3$
$1(z - 3) + 4(3z - 37) \le 2(25 - z) + 24$
Раскроем скобки: $z - 3 + 12z - 148 \le 50 - 2z + 24$
Приведем подобные слагаемые: $13z - 151 \le 74 - 2z$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую: $13z + 2z \le 74 + 151$
$15z \le 225$
Разделим обе части на 15: $z \le \frac{225}{15}$
$z \le 15$
Ответ: $z \in (-\infty; 15]$.

д)

Исходное неравенство: $\frac{5y - 9}{10} - \frac{5 - 6y}{5} \ge \frac{10y - 9}{14} - \frac{3 - 4y}{7}$.
Наименьший общий знаменатель для 10, 5, 14 и 7 равен 70.
Умножим обе части неравенства на 70: $70 \cdot \frac{5y - 9}{10} - 70 \cdot \frac{5 - 6y}{5} \ge 70 \cdot \frac{10y - 9}{14} - 70 \cdot \frac{3 - 4y}{7}$
$7(5y - 9) - 14(5 - 6y) \ge 5(10y - 9) - 10(3 - 4y)$
Раскроем скобки: $35y - 63 - 70 + 84y \ge 50y - 45 - 30 + 40y$
Приведем подобные слагаемые: $119y - 133 \ge 90y - 75$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую: $119y - 90y \ge -75 + 133$
$29y \ge 58$
Разделим обе части на 29: $y \ge 2$
Ответ: $y \in [2; +\infty)$.

е)

Исходное неравенство: $\frac{x + 5}{5} - \frac{x + 4}{3} + \frac{x - 1}{2} > x - 4$.
Наименьший общий знаменатель для 5, 3 и 2 равен 30.
Умножим обе части неравенства на 30: $30 \cdot \frac{x + 5}{5} - 30 \cdot \frac{x + 4}{3} + 30 \cdot \frac{x - 1}{2} > 30(x - 4)$
$6(x + 5) - 10(x + 4) + 15(x - 1) > 30x - 120$
Раскроем скобки: $6x + 30 - 10x - 40 + 15x - 15 > 30x - 120$
Приведем подобные слагаемые: $11x - 25 > 30x - 120$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $11x - 30x > -120 + 25$
$-19x > -95$
Разделим обе части на -19, изменив знак неравенства на противоположный: $x < \frac{-95}{-19}$
$x < 5$
Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

ж)

Исходное неравенство: $\frac{y - 4}{2} - \frac{y - 3}{3} \le \frac{2(y - 2)}{3} - \frac{y + 1}{2}$.
Сначала упростим выражение в правой части: $\frac{2(y-2)}{3} = \frac{2y-4}{3}$.
Неравенство примет вид: $\frac{y - 4}{2} - \frac{y - 3}{3} \le \frac{2y - 4}{3} - \frac{y + 1}{2}$.
Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6.
Умножим обе части неравенства на 6: $6 \cdot \frac{y - 4}{2} - 6 \cdot \frac{y - 3}{3} \le 6 \cdot \frac{2y - 4}{3} - 6 \cdot \frac{y + 1}{2}$
$3(y - 4) - 2(y - 3) \le 2(2y - 4) - 3(y + 1)$
Раскроем скобки: $3y - 12 - 2y + 6 \le 4y - 8 - 3y - 3$
Приведем подобные слагаемые: $y - 6 \le y - 11$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну часть: $y - y \le -11 + 6$
$0 \le -5$
Полученное неравенство является ложным, так как 0 не меньше и не равно -5. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет ($y \in \emptyset$).

з)

Исходное неравенство: $3z + \frac{3 - 2z}{2} \ge z - \frac{1 - 5z}{5}$.
Наименьший общий знаменатель для 2 и 5 равен 10.
Умножим все члены неравенства на 10: $10 \cdot 3z + 10 \cdot \frac{3 - 2z}{2} \ge 10 \cdot z - 10 \cdot \frac{1 - 5z}{5}$
$30z + 5(3 - 2z) \ge 10z - 2(1 - 5z)$
Раскроем скобки: $30z + 15 - 10z \ge 10z - 2 + 10z$
Приведем подобные слагаемые: $20z + 15 \ge 20z - 2$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в одну часть: $20z - 20z \ge -2 - 15$
$0 \ge -17$
Полученное неравенство является верным при любом значении переменной, так как 0 всегда больше -17. Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.
Ответ: $z$ - любое число ($z \in (-\infty; +\infty)$).