Номер 96, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 96, страница 33.

96 Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку:

а) $\frac{2x - 1}{2} > \frac{1 + 5x}{8} - 1$, $[-2; 3];$

б) $\frac{(2x + 1)^2}{3} - \frac{2x + 1}{2} \le \frac{4x^2}{3} - 1$, $[-3; -1];$

в) $\frac{x + 2}{20} - \frac{1 - 2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10}$, $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}];$

г) $\frac{3x - 2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x + 1}{5} - \frac{1}{2}$, $[-15; 15].$

а) Решим неравенство $ \frac{2x-1}{2} > \frac{1+5x}{8} - 1 $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$ 8 \cdot \frac{2x-1}{2} > 8 \cdot \left(\frac{1+5x}{8} - 1\right) $

$ 4(2x-1) > 1+5x - 8 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 8x - 4 > 5x - 7 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 8x - 5x > -7 + 4 $

$ 3x > -3 $

$ x > -1 $

Решением неравенства является промежуток $ (-1; +\infty) $. Теперь найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-2; 3] $.

Пересечением множеств $ x \in (-1; +\infty) $ и $ x \in [-2; 3] $ является промежуток $ (-1; 3] $.

Ответ: $ (-1; 3] $

б) Решим неравенство $ \frac{(2x+1)^2}{3} - \frac{2x+1}{2} \le \frac{4x^2}{3} - 1 $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$ 6 \cdot \frac{(2x+1)^2}{3} - 6 \cdot \frac{2x+1}{2} \le 6 \cdot \frac{4x^2}{3} - 6 \cdot 1 $

$ 2(2x+1)^2 - 3(2x+1) \le 2(4x^2) - 6 $

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат $ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $:

$ 2(4x^2 + 4x + 1) - 3(2x+1) \le 8x^2 - 6 $

$ 8x^2 + 8x + 2 - 6x - 3 \le 8x^2 - 6 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 8x^2 + 2x - 1 \le 8x^2 - 6 $

Вычтем $ 8x^2 $ из обеих частей:

$ 2x - 1 \le -6 $

$ 2x \le -6 + 1 $

$ 2x \le -5 $

$ x \le -2.5 $

Решением неравенства является промежуток $ (-\infty; -2.5] $. Найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-3; -1] $.

Пересечением множеств $ x \in (-\infty; -2.5] $ и $ x \in [-3; -1] $ является промежуток $ [-3; -2.5] $.

Ответ: $ [-3; -2.5] $

в) Решим неравенство $ \frac{x+2}{20} - \frac{1-2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10} $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 20:

$ 20 \cdot \frac{x+2}{20} - 20 \cdot \frac{1-2x}{5} \le 20 \cdot \frac{3x}{20} - 20 \cdot \frac{1}{10} $

$ (x+2) - 4(1-2x) \le 3x - 2 $

Раскроем скобки:

$ x + 2 - 4 + 8x \le 3x - 2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x - 2 \le 3x - 2 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 9x - 3x \le -2 + 2 $

$ 6x \le 0 $

$ x \le 0 $

Решением неравенства является промежуток $ (-\infty; 0] $. Найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] $.

Пересечением множеств $ x \in (-\infty; 0] $ и $ x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] $ является промежуток $ [-\frac{1}{2}; 0] $.

Ответ: $ [-\frac{1}{2}; 0] $

г) Решим неравенство $ \frac{3x-2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x+1}{5} - \frac{1}{2} $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 10:

$ 10 \cdot \frac{3x-2}{5} + 10 \cdot \frac{1}{2} \ge 10 \cdot \frac{4x+1}{5} - 10 \cdot \frac{1}{2} $

$ 2(3x-2) + 5 \ge 2(4x+1) - 5 $

Раскроем скобки:

$ 6x - 4 + 5 \ge 8x + 2 - 5 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 6x + 1 \ge 8x - 3 $

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$ 1 + 3 \ge 8x - 6x $

$ 4 \ge 2x $

Разделим на 2:

$ 2 \ge x $, что равносильно $ x \le 2 $.

Решением неравенства является промежуток $ (-\infty; 2] $. Найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-15; 15] $.

Пересечением множеств $ x \in (-\infty; 2] $ и $ x \in [-15; 15] $ является промежуток $ [-15; 2] $.

Ответ: $ [-15; 2] $