Номер 70, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 70, страница 25.

70 Оцените площадь и периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равны $\sqrt{3}$ см и $\sqrt{2}$ см. (Границы в ответе запишите в виде десятичных дробей с одним знаком после запятой.)

Для решения задачи нам нужно оценить значения площади ($S$) и периметра ($P$) прямоугольного треугольника с катетами $a = \sqrt{3}$ см и $b = \sqrt{2}$ см.

Площадь
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.
Подставим значения катетов в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см².
Чтобы оценить площадь, нам нужно оценить значение $\sqrt{6}$. Мы знаем, что $2.4^2 = 5.76$ и $2.5^2 = 6.25$. Следовательно, мы можем записать неравенство:
$2.4 < \sqrt{6} < 2.5$
Теперь разделим все части неравенства на 2, чтобы получить оценку для площади $S$:
$\frac{2.4}{2} < \frac{\sqrt{6}}{2} < \frac{2.5}{2}$
$1.2 < S < 1.25$
Согласно условию, границы ответа должны быть представлены в виде десятичных дробей с одним знаком после запятой. Из полученного неравенства $1.2 < S < 1.25$ следует, что площадь больше, чем 1.2, но меньше, чем 1.3. Таким образом, искомая оценка для площади:
$1.2 \text{ см}^2 < S < 1.3 \text{ см}^2$
Ответ: $1.2 < S < 1.3$.

Периметр
Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$, где $c$ — это гипотенуза.
Сначала найдем длину гипотенузы, используя теорему Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:
$c = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}$ см.
Таким образом, периметр равен сумме: $P = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5}$ см.
Для оценки периметра оценим каждый из корней с точностью до одного знака после запятой:
- Для $\sqrt{3}$: так как $1.7^2 = 2.89$ и $1.8^2 = 3.24$, то $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$.
- Для $\sqrt{2}$: так как $1.4^2 = 1.96$ и $1.5^2 = 2.25$, то $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$.
- Для $\sqrt{5}$: так как $2.2^2 = 4.84$ и $2.3^2 = 5.29$, то $2.2 < \sqrt{5} < 2.3$.
Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств, чтобы получить оценку для периметра:
$1.7 + 1.4 + 2.2 < \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5} < 1.8 + 1.5 + 2.3$
$5.3 < P < 5.6$
Таким образом, искомая оценка для периметра:
$5.3 \text{ см} < P < 5.6 \text{ см}$
Ответ: $5.3 < P < 5.6$.