Номер 107, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 107, страница 38.

107 a) $\begin{cases} 7x - 12 \geq 13x \\ 1 - 4x > 13 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2z - 9 \geq 3z - 3 \\ 3z + 4 \geq z + 10 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5y < 2y + 9 \\ 8 - 2y > 10 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 2z + 6 > 3z - 1 \\ 5z - 1 \geq 2z + 8 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 6y - 1 < 3y + 14 \\ 8 - y > 3y \end{cases}$

е) $\begin{cases} 6 - 4x \geq 4 - 3x \\ 7 - 3x \geq 6 - 4x \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 3z + 2 \geq 7 + 4z \\ 4z - 1 < 2z + 7 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 2y + 8 \leq y + 4 \\ 2y + 8 \geq y - 1 \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 7x - 12 \ge 13x \\ 1 - 4x > 13 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $7x - 12 \ge 13x$
$7x - 13x \ge 12$
$-6x \ge 12$
При делении на отрицательное число (-6) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{12}{-6}$
$x \le -2$

2) $1 - 4x > 13$
$-4x > 13 - 1$
$-4x > 12$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{12}{-4}$
$x < -3$

Теперь найдем пересечение решений: $x \le -2$ и $x < -3$.
Общим решением для системы является промежуток, где выполняются оба неравенства, то есть $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2z - 9 \ge 3z - 3 \\ 3z + 4 \ge z + 10 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $2z - 9 \ge 3z - 3$
$2z - 3z \ge -3 + 9$
$-z \ge 6$
$z \le -6$

2) $3z + 4 \ge z + 10$
$3z - z \ge 10 - 4$
$2z \ge 6$
$z \ge 3$

Теперь найдем пересечение решений: $z \le -6$ и $z \ge 3$.
Множества решений не пересекаются, так как не существует числа, которое одновременно меньше или равно -6 и больше или равно 3.

Ответ: решений нет.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5y < 2y + 9 \\ 8 - 2y > 10 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $5y < 2y + 9$
$5y - 2y < 9$
$3y < 9$
$y < 3$

2) $8 - 2y > 10$
$-2y > 10 - 8$
$-2y > 2$
$y < -1$

Теперь найдем пересечение решений: $y < 3$ и $y < -1$.
Общим решением является $y < -1$.

Ответ: $y \in (-\infty, -1)$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2z + 6 > 3z - 1 \\ 5z - 1 \ge 2z + 8 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $2z + 6 > 3z - 1$
$6 + 1 > 3z - 2z$
$7 > z$, или $z < 7$

2) $5z - 1 \ge 2z + 8$
$5z - 2z \ge 8 + 1$
$3z \ge 9$
$z \ge 3$

Теперь найдем пересечение решений: $z < 7$ и $z \ge 3$.
Общим решением является $3 \le z < 7$.

Ответ: $z \in [3, 7)$.

д)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6y - 1 < 3y + 14 \\ 8 - y > 3y \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6y - 1 < 3y + 14$
$6y - 3y < 14 + 1$
$3y < 15$
$y < 5$

2) $8 - y > 3y$
$8 > 3y + y$
$8 > 4y$
$2 > y$, или $y < 2$

Теперь найдем пересечение решений: $y < 5$ и $y < 2$.
Общим решением является $y < 2$.

Ответ: $y \in (-\infty, 2)$.

е)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6 - 4x \ge 4 - 3x \\ 7 - 3x \ge 6 - 4x \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6 - 4x \ge 4 - 3x$
$6 - 4 \ge 4x - 3x$
$2 \ge x$, или $x \le 2$

2) $7 - 3x \ge 6 - 4x$
$4x - 3x \ge 6 - 7$
$x \ge -1$

Теперь найдем пересечение решений: $x \le 2$ и $x \ge -1$.
Общим решением является $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-1, 2]$.

ж)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3z + 2 \ge 7 + 4z \\ 4z - 1 < 2z + 7 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $3z + 2 \ge 7 + 4z$
$2 - 7 \ge 4z - 3z$
$-5 \ge z$, или $z \le -5$

2) $4z - 1 < 2z + 7$
$4z - 2z < 7 + 1$
$2z < 8$
$z < 4$

Теперь найдем пересечение решений: $z \le -5$ и $z < 4$.
Общим решением является $z \le -5$.

Ответ: $z \in (-\infty, -5]$.

з)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2y + 8 \le y + 4 \\ 2y + 8 \ge y - 1 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $2y + 8 \le y + 4$
$2y - y \le 4 - 8$
$y \le -4$

2) $2y + 8 \ge y - 1$
$2y - y \ge -1 - 8$
$y \ge -9$

Теперь найдем пересечение решений: $y \le -4$ и $y \ge -9$.
Общим решением является $-9 \le y \le -4$.

Ответ: $y \in [-9, -4]$.