Номер 104, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 104, страница 38.

104 Изобразите на координатной прямой каждое из заданных множеств (если оно не пусто):

а) $\begin{cases} x > 1,5 \\ x < 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x > 4 \\ x > 6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x \le 0 \\ x \le -0,5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < 2 \\ x > 3; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x > 4 \\ x \ge -7; \end{cases}$

е) $-2 \le x \le 5;$

ж) $\begin{cases} x < 7 \\ x < 1,5; \end{cases}$

з) $\begin{cases} x \le -4 \\ x \ge -1,7; \end{cases}$

и) $-3 \le x < 1.$

а)

Дана система неравенств $\begin{cases} x > 1,5 \\ x < 7 \end{cases}$. Решением этой системы являются все числа $x$, которые одновременно больше 1,5 и меньше 7. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1,5 < x < 7$.

На координатной прямой это множество изображается как интервал между точками 1,5 и 7. Концы интервала, точки 1,5 и 7, не включаются в множество, так как неравенства строгие. На прямой они обозначаются выколотыми (пустыми) точками. Заштриховывается область между этими точками.

Ответ: $(1,5; 7)$

б)

Дана система неравенств $\begin{cases} x > 4 \\ x > 6 \end{cases}$. Нужно найти все числа $x$, которые одновременно больше 4 и больше 6. Если число больше 6, оно автоматически будет больше 4. Поэтому общее решение определяется более строгим неравенством: $x > 6$.

На координатной прямой отмечаем выколотые точки 4 и 6. Штрихуем область правее 4 и область правее 6. Пересечением этих двух областей будет область правее 6. Это открытый луч, идущий от 6 вправо до $+\infty$.

Ответ: $(6; +\infty)$

в)

Дана система неравенств $\begin{cases} x \le 0 \\ x \le -0,5 \end{cases}$. Требуется найти все числа $x$, которые одновременно меньше или равны 0 и меньше или равны -0,5. Если число меньше или равно -0,5, оно автоматически будет меньше или равно 0. Следовательно, решением является более строгое неравенство: $x \le -0,5$.

На координатной прямой отмечаем точки 0 и -0,5. Так как неравенства нестрогие, точки включаются в множество и обозначаются закрашенными. Штрихуем область левее 0 и область левее -0,5. Пересечением будет область левее -0,5, включая саму точку. Это замкнутый луч, идущий от -0,5 влево до $-\infty$.

Ответ: $(-\infty; -0,5]$

г)

Дана система неравенств $\begin{cases} x < 2 \\ x > 3 \end{cases}$. Необходимо найти числа $x$, которые одновременно меньше 2 и больше 3.

На координатной прямой множество чисел, меньших 2, находится левее точки 2, а множество чисел, больших 3, находится правее точки 3. Эти два множества не имеют общих точек, их пересечение пусто. Следовательно, нет чисел, удовлетворяющих обоим условиям.

Ответ: Множество пустое, $\emptyset$.

д)

Дана система неравенств $\begin{cases} x > 4 \\ x \ge -7 \end{cases}$. Нужно найти числа $x$, которые одновременно больше 4 и больше или равны -7. Любое число, которое больше 4, автоматически будет больше или равно -7. Поэтому решение определяется более строгим неравенством: $x > 4$.

На координатной прямой отмечаем точку 4 (выколотая) и точку -7 (закрашенная). Пересечением областей $x > 4$ и $x \ge -7$ будет область $x > 4$. Это открытый луч, идущий от 4 вправо до $+\infty$.

Ответ: $(4; +\infty)$

е)

Дано двойное неравенство $-2 \le x \le 5$. Оно означает, что число $x$ должно быть одновременно больше или равно -2 и меньше или равно 5.

На координатной прямой это множество изображается как отрезок с концами в точках -2 и 5. Так как неравенства нестрогие, обе точки включаются в множество и обозначаются закрашенными. Решением является заштрихованная область между -2 и 5, включая концы.

Ответ: $[-2; 5]$

ж)

Дана система неравенств $\begin{cases} x < 7 \\ x < 1,5 \end{cases}$. Нужно найти все числа $x$, которые одновременно меньше 7 и меньше 1,5. Если число меньше 1,5, оно автоматически будет меньше 7. Таким образом, решение определяется более строгим неравенством: $x < 1,5$.

На координатной прямой отмечаем выколотые точки 1,5 и 7. Пересечением областей $x < 7$ и $x < 1,5$ будет область $x < 1,5$. Это открытый луч, идущий от 1,5 влево до $-\infty$.

Ответ: $(-\infty; 1,5)$

з)

Дана система неравенств $\begin{cases} x \le -4 \\ x \ge -1,7 \end{cases}$. Нужно найти числа $x$, которые одновременно меньше или равны -4 и больше или равны -1,7.

На координатной прямой число -4 находится левее числа -1,7. Множество чисел $x \le -4$ находится левее точки -4, а множество чисел $x \ge -1,7$ находится правее точки -1,7. Эти множества не пересекаются. Значит, решений нет.

Ответ: Множество пустое, $\emptyset$.

и)

Дано двойное неравенство $-3 \le x < 1$. Оно означает, что число $x$ должно быть одновременно больше или равно -3 и строго меньше 1.

На координатной прямой это множество изображается как полуинтервал. Точка -3 включается в множество (неравенство нестрогое) и обозначается закрашенной. Точка 1 не включается в множество (неравенство строгое) и обозначается выколотой. Решением является заштрихованная область между -3 и 1, включая точку -3, но не включая точку 1.

Ответ: $[-3; 1)$