Номер 106, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 106, страница 38.

Решите систему неравенств (106–108).

106 а) $ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $;

б) $ \begin{cases} 3y - 12 < 0 \\ 2y + 3 > 0 \end{cases} $;

в) $ \begin{cases} 10 - 5z > 0 \\ 2z - 1 < 0 \end{cases} $;

г) $ \begin{cases} 1 - 2y \ge 0 \\ 4y - 1 \ge 0 \end{cases} $;

д) $ \begin{cases} 2 - 6x > 0 \\ 2 - 4x < 0 \end{cases} $;

е) $ \begin{cases} 2 + 3z < 0 \\ 1 + 3z < 0 \end{cases} $.

а) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x - 3 > 0 \\x + 2 > 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x - 3 > 0 \implies x > 3$
2) $x + 2 > 0 \implies x > -2$
Найдем пересечение полученных решений. Нам нужны значения $x$, которые одновременно больше 3 и больше -2. Если число больше 3, оно автоматически больше -2. Таким образом, общее решение — это $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$

б) Решим систему неравенств:$\begin{cases}3y - 12 < 0 \\2y + 3 > 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $3y - 12 < 0 \implies 3y < 12 \implies y < 4$
2) $2y + 3 > 0 \implies 2y > -3 \implies y > -1.5$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $y$, которые удовлетворяют обоим условиям: $y < 4$ и $y > -1.5$. Это соответствует интервалу $-1.5 < y < 4$.

Ответ: $(-1.5; 4)$

в) Решим систему неравенств:$\begin{cases}10 - 5z > 0 \\2z - 1 < 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $10 - 5z > 0 \implies 10 > 5z \implies 2 > z \implies z < 2$
2) $2z - 1 < 0 \implies 2z < 1 \implies z < 0.5$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $z$, которые одновременно меньше 2 и меньше 0.5. Если число меньше 0.5, оно автоматически меньше 2. Следовательно, общее решение — это $z < 0.5$.

Ответ: $(-\infty; 0.5)$

г) Решим систему неравенств:$\begin{cases}1 - 2y \ge 0 \\4y - 1 \ge 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $1 - 2y \ge 0 \implies 1 \ge 2y \implies 0.5 \ge y \implies y \le 0.5$
2) $4y - 1 \ge 0 \implies 4y \ge 1 \implies y \ge 0.25$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $y$, которые удовлетворяют обоим условиям: $y \le 0.5$ и $y \ge 0.25$. Это соответствует отрезку $0.25 \le y \le 0.5$.

Ответ: $[0.25; 0.5]$

д) Решим систему неравенств:$\begin{cases}2 - 6x > 0 \\2 - 4x < 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $2 - 6x > 0 \implies 2 > 6x \implies \frac{2}{6} > x \implies x < \frac{1}{3}$
2) $2 - 4x < 0 \implies 2 < 4x \implies \frac{2}{4} < x \implies x > \frac{1}{2}$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $x$, которые одновременно меньше $\frac{1}{3}$ и больше $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, не существует чисел, которые бы удовлетворяли обоим этим условиям одновременно.

Ответ: нет решений

е) Решим систему неравенств:$\begin{cases}2 + 3z < 0 \\1 + 3z < 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $2 + 3z < 0 \implies 3z < -2 \implies z < -\frac{2}{3}$
2) $1 + 3z < 0 \implies 3z < -1 \implies z < -\frac{1}{3}$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $z$, которые одновременно меньше $-\frac{2}{3}$ и меньше $-\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{2}{3} \approx -0.67$, а $-\frac{1}{3} \approx -0.33$, то условие $z < -\frac{2}{3}$ является более строгим. Если число меньше $-\frac{2}{3}$, оно автоматически меньше $-\frac{1}{3}$. Следовательно, общее решение — это $z < -\frac{2}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3})$