Номер 113, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 113, страница 39.

113 Применяем алгебру Стороны треугольника выражаются различными целыми числами. Какую длину может иметь одна из его сторон, если:

а) длины двух других сторон 5 см и 4 см, а периметр не превосходит 15 см;

б) длины двух других сторон 8 см и 5 см, а периметр не превосходит 20 см?

а)Пусть неизвестная сторона треугольника равна $x$ см. По условию, стороны треугольника выражаются различными целыми числами. Две известные стороны равны 5 см и 4 см.

Для существования треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$5 + 4 > x \implies 9 > x$
$5 + x > 4 \implies x > -1$ (это условие всегда выполняется, так как длина стороны положительна)
$4 + x > 5 \implies x > 1$
Объединяя эти условия, получаем: $1 < x < 9$.

Также дано условие на периметр $P$: он не превосходит 15 см.
$P = 5 + 4 + x \le 15$
$9 + x \le 15$
$x \le 15 - 9$
$x \le 6$

Теперь объединим все условия для $x$:
$1 < x < 9$ и $x \le 6$. Это дает нам $1 < x \le 6$.
Поскольку $x$ — целое число, возможные значения для $x$: 2, 3, 4, 5, 6.
По условию, все стороны треугольника должны быть различными. Две стороны уже равны 5 и 4. Значит, $x$ не может быть равно 4 или 5.
Исключаем эти значения из списка возможных: {2, 3, 4, 5, 6}.
Остаются значения: 2, 3, 6.

Ответ: третья сторона может иметь длину 2 см, 3 см или 6 см.

б)Пусть неизвестная сторона треугольника равна $y$ см. Две известные стороны равны 8 см и 5 см. Стороны должны быть различными целыми числами.

Применим неравенство треугольника:
$8 + 5 > y \implies 13 > y$
$8 + y > 5 \implies y > -3$ (выполняется всегда)
$5 + y > 8 \implies y > 3$
Объединяя условия, получаем: $3 < y < 13$.

Условие на периметр $P$: не превосходит 20 см.
$P = 8 + 5 + y \le 20$
$13 + y \le 20$
$y \le 20 - 13$
$y \le 7$

Объединяем все условия для $y$:
$3 < y < 13$ и $y \le 7$. Это дает нам $3 < y \le 7$.
Поскольку $y$ — целое число, возможные значения для $y$: 4, 5, 6, 7.
Стороны треугольника должны быть различными, а две стороны уже равны 8 и 5. Значит, $y$ не может быть равно 5 (значение 8 и так не входит в наш диапазон).
Исключаем 5 из списка возможных: {4, 5, 6, 7}.
Остаются значения: 4, 6, 7.

Ответ: третья сторона может иметь длину 4 см, 6 см или 7 см.