Страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

109 а) $3 < 3x < 18;$

б) $4 \leq -2y \leq 10;$

в) $-1 < 3z < 12;$

г) $0 < z + 8 < 28;$

д) $14 \leq x - 1 < 15;$

е) $-2.5 < y - 2.5 \leq 3.$

а) Дано двойное неравенство $3 < 3x < 18$.

Чтобы найти значение x, необходимо изолировать его в центральной части неравенства. Для этого разделим все три части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$\frac{3}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{18}{3}$

Выполнив деление, получаем:

$1 < x < 6$

Ответ: $1 < x < 6$

б) Дано двойное неравенство $4 \le -2y \le 10$.

Чтобы найти значение y, разделим все части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{4}{-2} \ge \frac{-2y}{-2} \ge \frac{10}{-2}$

Выполнив деление, получаем:

$-2 \ge y \ge -5$

Для удобства восприятия запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-5 \le y \le -2$

Ответ: $-5 \le y \le -2$

в) Дано двойное неравенство $-1 < 3z < 12$.

Чтобы найти значение z, разделим все части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется, так как 3 — положительное число.

$\frac{-1}{3} < \frac{3z}{3} < \frac{12}{3}$

После деления получаем:

$-\frac{1}{3} < z < 4$

Ответ: $-\frac{1}{3} < z < 4$

г) Дано двойное неравенство $0 < z + 8 < 28$.

Чтобы изолировать z, вычтем 8 из всех частей неравенства. Эта операция не изменяет знаки неравенства.

$0 - 8 < z + 8 - 8 < 28 - 8$

Выполнив вычитание, получаем:

$-8 < z < 20$

Ответ: $-8 < z < 20$

д) Дано двойное неравенство $14 \le x - 1 < 15$.

Чтобы найти значение x, прибавим 1 ко всем частям неравенства. Знаки неравенства при этом не изменятся.

$14 + 1 \le x - 1 + 1 < 15 + 1$

Выполнив сложение, получаем:

$15 \le x < 16$

Ответ: $15 \le x < 16$

е) Дано двойное неравенство $-2,5 < y - 2,5 \le 3$.

Чтобы найти значение y, прибавим 2,5 ко всем частям неравенства. Знаки неравенства при этом не изменятся.

$-2,5 + 2,5 < y - 2,5 + 2,5 \le 3 + 2,5$

Выполнив сложение, получаем:

$0 < y \le 5,5$

Ответ: $0 < y \le 5,5$

110 a) $-3 < 2x + 1 < 15$;

б) $1 \le 10 - z \le 9$;

в) $-14 \le 1 - 3y \le -11$;

г) $-3 < 1 + 4x < 0$;

д) $\frac{1}{3} < -2 - y < \frac{1}{2}$;

е) $-5 \le 5z - 3 < 7$.

а) $-3 < 2x + 1 < 15$

Чтобы решить двойное неравенство, выполним преобразования одновременно для всех его частей. Сначала вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < 2x + 1 - 1 < 15 - 1$

$-4 < 2x < 14$

Теперь разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{14}{2}$

$-2 < x < 7$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $(-2; 7)$.

б) $1 \le 10 - z \le 9$

Вычтем 10 из всех частей неравенства:

$1 - 10 \le 10 - z - 10 \le 9 - 10$

$-9 \le -z \le -1$

Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-9) \cdot (-1) \ge (-z) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot (-1)$

$9 \ge z \ge 1$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$1 \le z \le 9$

Решение можно записать в виде числового отрезка.

Ответ: $[1; 9]$.

в) $-14 \le 1 - 3y \le -11$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-14 - 1 \le 1 - 3y - 1 \le -11 - 1$

$-15 \le -3y \le -12$

Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-15}{-3} \ge \frac{-3y}{-3} \ge \frac{-12}{-3}$

$5 \ge y \ge 4$

Запишем неравенство в привычном виде:

$4 \le y \le 5$

Ответ: $[4; 5]$.

г) $-3 < 1 + 4x < 0$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < 1 + 4x - 1 < 0 - 1$

$-4 < 4x < -1$

Разделим все части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:

$\frac{-4}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{-1}{4}$

$-1 < x < -\frac{1}{4}$

Ответ: $(-1; -1/4)$.

д) $\frac{1}{3} < -2 - y < \frac{1}{2}$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$\frac{1}{3} + 2 < -2 - y + 2 < \frac{1}{2} + 2$

$\frac{1}{3} + \frac{6}{3} < -y < \frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

$\frac{7}{3} < -y < \frac{5}{2}$

Умножим все части неравенства на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:

$-\frac{7}{3} > y > -\frac{5}{2}$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-\frac{5}{2} < y < -\frac{7}{3}$

Ответ: $(-5/2; -7/3)$.

е) $-5 \le 5z - 3 < 7$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-5 + 3 \le 5z - 3 + 3 < 7 + 3$

$-2 \le 5z < 10$

Разделим все части неравенства на 5. Знак неравенства не меняется:

$\frac{-2}{5} \le \frac{5z}{5} < \frac{10}{5}$

$-\frac{2}{5} \le z < 2$

Ответ: $[-2/5; 2)$.

111 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Какая из следующих ситуаций возможна, а какая невозможна?

а) Один класс за 4 тетради по 20 р. и 12 шариковых ручек заплатил меньше 200 р., а другой — за одну такую же тетрадь и 15 таких же шариковых ручек заплатил больше 200 р.

б) Один покупатель за 3 кг огурцов, по 30 р. за килограмм, и 2 кг моркови заплатил больше 150 р., а другой — за 4 кг таких же огурцов и один килограмм моркови заплатил меньше 160 р.

а) Для анализа данной ситуации введем переменную. Пусть цена одной шариковой ручки равна $x$ рублей. Цена тетради известна и составляет 20 рублей.
Согласно первому условию, один класс купил 4 тетради и 12 ручек, заплатив меньше 200 рублей. Составим неравенство:
$4 \cdot 20 + 12x < 200$
$80 + 12x < 200$
$12x < 200 - 80$
$12x < 120$
$x < 10$
Это означает, что цена одной ручки должна быть меньше 10 рублей.

Согласно второму условию, другой класс купил 1 тетрадь и 15 ручек, заплатив больше 200 рублей. Составим второе неравенство:
$1 \cdot 20 + 15x > 200$
$20 + 15x > 200$
$15x > 200 - 20$
$15x > 180$
$x > \frac{180}{15}$
$x > 12$
Это означает, что цена одной ручки должна быть больше 12 рублей.

Таким образом, мы получили систему из двух неравенств:
$\begin{cases} x < 10 \\ x > 12 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше 10 и больше 12. Следовательно, данная ситуация невозможна.
Ответ: невозможна.

б) Для анализа второй ситуации также введем переменную. Пусть цена одного килограмма моркови равна $y$ рублей. Цена огурцов известна и составляет 30 рублей за килограмм.
Согласно первому условию, один покупатель купил 3 кг огурцов и 2 кг моркови, заплатив больше 150 рублей. Составим неравенство:
$3 \cdot 30 + 2y > 150$
$90 + 2y > 150$
$2y > 150 - 90$
$2y > 60$
$y > 30$
Это означает, что цена моркови должна быть больше 30 рублей за килограмм.

Согласно второму условию, другой покупатель купил 4 кг огурцов и 1 кг моркови, заплатив меньше 160 рублей. Составим второе неравенство:
$4 \cdot 30 + y < 160$
$120 + y < 160$
$y < 160 - 120$
$y < 40$
Это означает, что цена моркови должна быть меньше 40 рублей за килограмм.

Таким образом, мы получили систему из двух неравенств для цены моркови $y$:
$\begin{cases} y > 30 \\ y < 40 \end{cases}$
что можно записать как двойное неравенство: $30 < y < 40$.
Эта система имеет решения. Например, цена моркови может быть 35 рублей за килограмм. Проверим это:
Первая покупка: $3 \cdot 30 + 2 \cdot 35 = 90 + 70 = 160$ рублей. $160 > 150$, условие выполняется.
Вторая покупка: $4 \cdot 30 + 35 = 120 + 35 = 155$ рублей. $155 < 160$, условие выполняется.
Так как существует цена на морковь, при которой оба условия выполняются, данная ситуация возможна.
Ответ: возможна.

112 a) Задумали целое положительное число. Если к нему прибавить 7, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа. Если же к нему прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Какое число могли задумать?

б) Два ученика играли в игру «Задумай число». Первый говорит: «Я задумал целое число. Прибавив к нему 20, я получу больше, чем если бы умножил это число на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9. Какое число я задумал?» Подумав, второй сказал, что этого не может быть. Докажите это.

а) Пусть задуманное целое положительное число — это $x$.

Согласно первому условию, если к числу прибавить 7, то сумма будет меньше утроенного задуманного числа. Составим неравенство:

$x + 7 < 3x$

Решим это неравенство:

$7 < 3x - x$

$7 < 2x$

$x > \frac{7}{2}$

$x > 3.5$

Согласно второму условию, если к числу прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Составим второе неравенство:

$x + 10 > 2x$

Решим это неравенство:

$10 > 2x - x$

$10 > x$ или $x < 10$

Мы получили систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x > 3.5 \\ x < 10 \end{cases}$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3.5 < x < 10$.

Так как по условию $x$ — целое положительное число, нам нужно найти все целые числа в этом интервале. Это числа 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: задуманное число могло быть 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

б) Пусть целое число, которое задумал первый ученик, — это $y$.

Его утверждение можно записать в виде двойного неравенства. Сумма числа и 20 ($y + 20$) больше, чем это число, умноженное на 8 ($8y$), но меньше, чем это число, умноженное на 9 ($9y$).

$8y < y + 20 < 9y$

Чтобы решить это двойное неравенство, разобьем его на систему из двух неравенств:

$\begin{cases} 8y < y + 20 \\ y + 20 < 9y \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$8y - y < 20$

$7y < 20$

$y < \frac{20}{7}$

$y < 2\frac{6}{7}$

Теперь решим второе неравенство:

$20 < 9y - y$

$20 < 8y$

$y > \frac{20}{8}$

$y > \frac{5}{2}$

$y > 2.5$

Объединим результаты:

$2.5 < y < 2\frac{6}{7}$

По условию, первый ученик задумал целое число. Однако в интервале от 2.5 до $2\frac{6}{7}$ (приблизительно 2.86) нет ни одного целого числа.

Следовательно, не существует такого целого числа $y$, которое удовлетворяло бы условиям, названным первым учеником. Второй ученик был прав.

Ответ: второй ученик прав, потому что не существует целого числа $y$, удовлетворяющего неравенству $2.5 < y < 2\frac{6}{7}$.

113 Применяем алгебру Стороны треугольника выражаются различными целыми числами. Какую длину может иметь одна из его сторон, если:

а) длины двух других сторон 5 см и 4 см, а периметр не превосходит 15 см;

б) длины двух других сторон 8 см и 5 см, а периметр не превосходит 20 см?

а)Пусть неизвестная сторона треугольника равна $x$ см. По условию, стороны треугольника выражаются различными целыми числами. Две известные стороны равны 5 см и 4 см.

Для существования треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$5 + 4 > x \implies 9 > x$
$5 + x > 4 \implies x > -1$ (это условие всегда выполняется, так как длина стороны положительна)
$4 + x > 5 \implies x > 1$
Объединяя эти условия, получаем: $1 < x < 9$.

Также дано условие на периметр $P$: он не превосходит 15 см.
$P = 5 + 4 + x \le 15$
$9 + x \le 15$
$x \le 15 - 9$
$x \le 6$

Теперь объединим все условия для $x$:
$1 < x < 9$ и $x \le 6$. Это дает нам $1 < x \le 6$.
Поскольку $x$ — целое число, возможные значения для $x$: 2, 3, 4, 5, 6.
По условию, все стороны треугольника должны быть различными. Две стороны уже равны 5 и 4. Значит, $x$ не может быть равно 4 или 5.
Исключаем эти значения из списка возможных: {2, 3, 4, 5, 6}.
Остаются значения: 2, 3, 6.

Ответ: третья сторона может иметь длину 2 см, 3 см или 6 см.

б)Пусть неизвестная сторона треугольника равна $y$ см. Две известные стороны равны 8 см и 5 см. Стороны должны быть различными целыми числами.

Применим неравенство треугольника:
$8 + 5 > y \implies 13 > y$
$8 + y > 5 \implies y > -3$ (выполняется всегда)
$5 + y > 8 \implies y > 3$
Объединяя условия, получаем: $3 < y < 13$.

Условие на периметр $P$: не превосходит 20 см.
$P = 8 + 5 + y \le 20$
$13 + y \le 20$
$y \le 20 - 13$
$y \le 7$

Объединяем все условия для $y$:
$3 < y < 13$ и $y \le 7$. Это дает нам $3 < y \le 7$.
Поскольку $y$ — целое число, возможные значения для $y$: 4, 5, 6, 7.
Стороны треугольника должны быть различными, а две стороны уже равны 8 и 5. Значит, $y$ не может быть равно 5 (значение 8 и так не входит в наш диапазон).
Исключаем 5 из списка возможных: {4, 5, 6, 7}.
Остаются значения: 4, 6, 7.

Ответ: третья сторона может иметь длину 4 см, 6 см или 7 см.