Страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

123 Сравните $a$ и $b$, если известно, что:

а) $a - b = 0.1$;

б) $a - b = -8$;

в) $b - a = 0$;

г) $b - a = \frac{1}{3}$;

д) $a - b = 1 - \sqrt{5}$;

е) $b - a = \sqrt{3} - 2$;

ж) $a - b = m, m > 0$;

з) $b - a = q, q \le 0$.

Для сравнения двух чисел a и b можно найти их разность и сравнить её с нулём:

• Если $a - b > 0$, то $a > b$.
• Если $a - b < 0$, то $a < b$.
• Если $a - b = 0$, то $a = b$.

а) Дано, что $a - b = 0,1$.
Поскольку $0,1 > 0$, то разность $a - b$ положительна. Следовательно, $a$ больше $b$.
Ответ: $a > b$.

б) Дано, что $a - b = -8$.
Поскольку $-8 < 0$, то разность $a - b$ отрицательна. Следовательно, $a$ меньше $b$.
Ответ: $a < b$.

в) Дано, что $b - a = 0$.
Поскольку разность $b - a$ равна нулю, числа $a$ и $b$ равны.
Ответ: $a = b$.

г) Дано, что $b - a = \frac{1}{3}$.
Поскольку $\frac{1}{3} > 0$, то разность $b - a$ положительна. Следовательно, $b$ больше $a$.
Ответ: $b > a$.

д) Дано, что $a - b = 1 - \sqrt{5}$.
Определим знак разности $1 - \sqrt{5}$. Сравним $1$ и $\sqrt{5}$.
Возведём оба числа в квадрат: $1^2 = 1$, а $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $1 < 5$, то и $1 < \sqrt{5}$.
Значит, разность $1 - \sqrt{5}$ отрицательна. Следовательно, $a - b < 0$, и $a$ меньше $b$.
Ответ: $a < b$.

е) Дано, что $b - a = \sqrt{3} - 2$.
Определим знак разности $\sqrt{3} - 2$. Сравним $\sqrt{3}$ и $2$.
Возведём оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $2^2 = 4$.
Так как $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$.
Значит, разность $\sqrt{3} - 2$ отрицательна. Следовательно, $b - a < 0$, и $b$ меньше $a$.
Ответ: $a > b$.

ж) Дано, что $a - b = m$, причём $m > 0$.
Поскольку разность $a - b$ равна положительному числу $m$, то $a - b > 0$. Следовательно, $a$ больше $b$.
Ответ: $a > b$.

з) Дано, что $b - a = q$, причём $q \leq 0$.
Это условие означает, что разность $b - a$ либо отрицательна, либо равна нулю.
Если $b - a < 0$, то $b < a$.
Если $b - a = 0$, то $b = a$.
Объединяя эти два случая, получаем, что $b$ не больше $a$.
Ответ: $a \geq b$.

124 Поставьте вместо многоточия такой знак неравенства, чтобы получившееся утверждение было верным:

а) если $x \le y$, то $x - y ... 0;

б) если $a > c$, то $a - c ... 0;

в) если $a - b < 0$, то $a ... b;

г) если $x - y \ge 0$, то $x ... y;

д) если $a > b$, то $b - a ... 0;

е) если $c - y \le 0$, то $y - c ... 0.

Для решения данной задачи мы будем использовать основные свойства числовых неравенств:

• Если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство.
• Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
• Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Дано неравенство $x \le y$. Чтобы сравнить выражение $x - y$ с нулем, вычтем $y$ из обеих частей неравенства. Согласно свойствам неравенств, знак неравенства при этом не изменится:

$x - y \le y - y$

$x - y \le 0$

Ответ: $x - y \le 0$.

Дано неравенство $a > c$. Чтобы сравнить выражение $a - c$ с нулем, вычтем $c$ из обеих частей неравенства. Знак неравенства сохранится:

$a - c > c - c$

$a - c > 0$

Ответ: $a - c > 0$.

Дано неравенство $a - b < 0$. Чтобы сравнить $a$ и $b$, прибавим $b$ к обеим частям неравенства. Знак неравенства не изменится:

$a - b + b < 0 + b$

$a < b$

Ответ: $a < b$.

Дано неравенство $x - y \ge 0$. Чтобы сравнить $x$ и $y$, прибавим $y$ к обеим частям неравенства. Знак неравенства сохранится:

$x - y + y \ge 0 + y$

$x \ge y$

Ответ: $x \ge y$.

Дано неравенство $a > b$. Нам нужно получить выражение $b - a$. Для этого сначала вычтем $a$ из обеих частей:

$a - a > b - a$

$0 > b - a$

Запишем это неравенство в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части и развернув знак неравенства:

$b - a < 0$

Ответ: $b - a < 0$.

Дано неравенство $c - y \le 0$. Нам нужно получить выражение $y - c$. Заметим, что $y - c = -(c - y)$. Умножим исходное неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$(c - y) \cdot (-1) \ge 0 \cdot (-1)$

$-c + y \ge 0$

$y - c \ge 0$

Ответ: $y - c \ge 0$.