Страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

145 Докажите разными способами, что при положительных значениях переменных верно неравенство:

a) $\frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} \ge 4;$

б) $\frac{x+y+z}{x} + \frac{x+y+z}{y} + \frac{x+y+z}{z} \ge 9.$

Подсказка. Способ 1. Составьте разность левой и правой частей.

Способ 2. Выделите из дроби целую часть и воспользуйтесь неравенством, доказанным в упражнении 129.

а) Доказать, что при $x > 0, y > 0$ верно неравенство $ \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} \ge 4 $.

Способ 1. Составим разность левой и правой частей неравенства и докажем, что она неотрицательна.

$ \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} - 4 $

Приведем выражение к общему знаменателю $xy$:

$ \frac{y(x+y) + x(x+y) - 4xy}{xy} = \frac{xy + y^2 + x^2 + xy - 4xy}{xy} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy} $

Числитель представляет собой полный квадрат разности:

$ \frac{(x-y)^2}{xy} $

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x-y)^2 \ge 0$. По условию переменные $x$ и $y$ положительны, следовательно, их произведение $xy > 0$.

Таким образом, дробь $ \frac{(x-y)^2}{xy} $ является отношением неотрицательного числа к положительному, а значит, сама дробь неотрицательна: $ \frac{(x-y)^2}{xy} \ge 0 $.

Мы доказали, что $ \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} - 4 \ge 0 $, что равносильно исходному неравенству $ \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} \ge 4 $. Равенство достигается при $x=y$.

Способ 2. Выделим целую часть из каждой дроби в левой части неравенства.

$ \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} = (\frac{x}{x} + \frac{y}{x}) + (\frac{x}{y} + \frac{y}{y}) = (1 + \frac{y}{x}) + (\frac{x}{y} + 1) = 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} $

Теперь нам нужно доказать неравенство $ 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \ge 4 $, что равносильно неравенству $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \ge 2 $.

Это известное неравенство о сумме двух взаимно обратных положительных чисел. Докажем его. Пусть $a = \frac{y}{x}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $a > 0$. Нужно доказать, что $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Рассмотрим разность $ a + \frac{1}{a} - 2 $. Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{a^2 + 1 - 2a}{a} = \frac{(a-1)^2}{a} $

Поскольку $a > 0$ и $(a-1)^2 \ge 0$, то $ \frac{(a-1)^2}{a} \ge 0 $. Следовательно, $ a + \frac{1}{a} \ge 2 $.

Возвращаясь к нашему выражению, получаем:

$ 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \ge 2 + 2 = 4 $

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 $, то есть при $ \frac{y}{x} = 1 $, что означает $x=y$.

Ответ: Неравенство доказано обоими способами. Равенство достигается при $x=y$.

б) Доказать, что при $x > 0, y > 0, z > 0$ верно неравенство $ \frac{x+y+z}{x} + \frac{x+y+z}{y} + \frac{x+y+z}{z} \ge 9 $.

Способ 1. Составим разность левой и правой частей неравенства и докажем, что она неотрицательна.

$ \frac{x+y+z}{x} + \frac{x+y+z}{y} + \frac{x+y+z}{z} - 9 $

Приведем выражение к общему знаменателю $xyz$:

$ \frac{yz(x+y+z) + xz(x+y+z) + xy(x+y+z) - 9xyz}{xyz} $

Раскроем скобки в числителе:

$ yz(x+y+z) + xz(x+y+z) + xy(x+y+z) - 9xyz = $
$ = (xyz + y^2z + yz^2) + (x^2z + xyz + xz^2) + (x^2y + xy^2 + xyz) - 9xyz = $
$ = x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 + 3xyz - 9xyz = $
$ = x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 - 6xyz $

Таким образом, нам нужно доказать, что при $x, y, z > 0$ выражение $ \frac{x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 - 6xyz}{xyz} \ge 0 $.

Поскольку знаменатель $xyz$ положителен, достаточно доказать, что числитель неотрицателен:

$ x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 - 6xyz \ge 0 $

Это можно доказать с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для шести положительных чисел $a_1, ..., a_6$ верно $ \frac{a_1+...+a_6}{6} \ge \sqrt[6]{a_1...a_6} $.

Применим его к числам $x^2y, xy^2, y^2z, yz^2, x^2z, xz^2$:

$ \frac{x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2}{6} \ge \sqrt[6]{(x^2y)(xy^2)(y^2z)(yz^2)(x^2z)(xz^2)} $

Вычислим произведение под корнем: $ x^{2+1+2+1} y^{1+2+2+1} z^{1+2+1+2} = x^6 y^6 z^6 = (xyz)^6 $.

Тогда правая часть неравенства Коши равна: $ \sqrt[6]{(xyz)^6} = xyz $.

Получаем: $ \frac{x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2}{6} \ge xyz $.

Умножив обе части на 6, получаем требуемое неравенство: $ x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 \ge 6xyz $.

Таким образом, числитель нашей дроби неотрицателен, а значит и вся разность неотрицательна. Неравенство доказано.

Способ 2. Выделим целую часть из каждой дроби в левой части неравенства.

$ \frac{x+y+z}{x} + \frac{x+y+z}{y} + \frac{x+y+z}{z} = (\frac{x}{x} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x}) + (\frac{x}{y} + \frac{y}{y} + \frac{z}{y}) + (\frac{x}{z} + \frac{y}{z} + \frac{z}{z}) $

$ = (1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x}) + (1 + \frac{x}{y} + \frac{z}{y}) + (1 + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}) $

Сгруппируем слагаемые:

$ = 3 + (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y}) $

Как было показано в решении пункта а), для любых двух положительных чисел $a$ и $b$ верна оценка $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 $.

Применим это неравенство к каждой паре слагаемых в скобках: $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \ge 2 $, $ \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \ge 2 $ и $ \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \ge 2 $.

Тогда вся сумма будет не меньше, чем:

$ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 $

Следовательно, $ \frac{x+y+z}{x} + \frac{x+y+z}{y} + \frac{x+y+z}{z} \ge 9 $. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано обоими способами. Равенство достигается при $x=y=z$.

146 Докажите, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство

$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc.$

Подсказка. Примените неравенство $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}.$

Для доказательства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое было дано в подсказке: $$ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} $$ Это неравенство можно переписать в более удобном для нас виде, умножив обе части на 2: $$ x+y \ge 2\sqrt{xy} $$

По условию задачи переменные $a, b, c$ неотрицательны ($a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$), поэтому мы можем применить это неравенство для каждой из пар чисел $(a, b)$, $(b, c)$ и $(c, a)$. Запишем три соответствующих неравенства:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
$b+c \ge 2\sqrt{bc}$
$c+a \ge 2\sqrt{ca}$

Поскольку обе части каждого из этих трёх неравенств являются неотрицательными, мы имеем право их перемножить, при этом знак неравенства сохранится. Произведение левых частей будет не меньше произведения правых частей: $$ (a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) $$

Теперь упростим правую часть полученного неравенства: $$ (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{ab \cdot bc \cdot ca} = 8 \sqrt{a^2b^2c^2} $$

Так как по условию $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$, то корень из произведения их квадратов равен их произведению: $\sqrt{a^2b^2c^2} = \sqrt{(abc)^2} = |abc| = abc$. Следовательно, правая часть равна $8abc$.

Подставив это упрощенное выражение обратно в наше неравенство, мы получаем итоговый результат: $$ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем троекратного применения неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом для неотрицательных пар чисел $(a, b)$, $(b, c)$ и $(c, a)$ и последующего перемножения полученных неравенств.

147 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) В каком случае турист пройдёт одно и то же расстояние быстрее: если он будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью или же если половину пути он будет идти в гору со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем его скорость по горизонтальной дороге, а половину пути — с горы со скоростью, на 1 км/ч большей, чем по горизонтальной дороге?

б) Саша и Даша отправляются из одного дома к школе, расстояние до которой 2 км. Саша первую половину пути бежит со скоростью $a$ км/ч, а вторую половину пути идёт со скоростью $b$ км/ч. Даша первую половину времени бежит со скоростью $a$ км/ч, а вторую половину времени идёт со скоростью $b$ км/ч. Кто из них доберётся до школы раньше?

а)

Для решения задачи сравним время, затраченное туристом в двух случаях. Пусть $S$ – это общее расстояние, а $v$ (в км/ч) – скорость туриста на горизонтальной дороге. Для того чтобы задача имела физический смысл, скорость движения в гору должна быть положительной, то есть $v-1 > 0$, откуда $v > 1$ км/ч.

Случай 1: Движение по горизонтальной дороге.

Скорость туриста постоянна и равна $v$. Время, затраченное на весь путь, равно:
$t_1 = \frac{S}{v}$

Случай 2: Движение в гору и с горы.

Первую половину пути, равную $S/2$, турист идёт в гору со скоростью $v - 1$ км/ч. Время на этом участке:
$t_{в\;гору} = \frac{S/2}{v-1} = \frac{S}{2(v-1)}$

Вторую половину пути, также равную $S/2$, турист идёт с горы со скоростью $v + 1$ км/ч. Время на этом участке:
$t_{с\;горы} = \frac{S/2}{v+1} = \frac{S}{2(v+1)}$

Общее время во втором случае:
$t_2 = t_{в\;гору} + t_{с\;горы} = \frac{S}{2(v-1)} + \frac{S}{2(v+1)}$

Приведём выражение для $t_2$ к общему знаменателю:
$t_2 = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v-1} + \frac{1}{v+1} \right) = \frac{S}{2} \left( \frac{(v+1) + (v-1)}{(v-1)(v+1)} \right) = \frac{S}{2} \left( \frac{2v}{v^2 - 1} \right) = \frac{Sv}{v^2 - 1}$

Теперь сравним $t_1 = \frac{S}{v}$ и $t_2 = \frac{Sv}{v^2 - 1}$. Для этого найдем их отношение:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\frac{Sv}{v^2 - 1}}{\frac{S}{v}} = \frac{Sv}{v^2 - 1} \cdot \frac{v}{S} = \frac{v^2}{v^2 - 1}$

Поскольку $v > 1$, то $v^2$ — положительное число. Знаменатель $v^2 - 1$ меньше числителя $v^2$. Следовательно, дробь $\frac{v^2}{v^2 - 1}$ больше 1.
Из $\frac{t_2}{t_1} > 1$ следует, что $t_2 > t_1$.

Это означает, что во втором случае турист затратит больше времени. Чтобы пройти расстояние быстрее, ему следует идти по горизонтальной дороге.

Ответ: Турист пройдёт расстояние быстрее, если будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью.

б)

Пусть $S=2$ км — расстояние от дома до школы, $a$ км/ч — скорость бега, $b$ км/ч — скорость ходьбы. Логично предположить, что скорость бега больше скорости ходьбы, то есть $a > b$.

Рассчитаем время Саши:

Саша первую половину пути, то есть $S/2 = 1$ км, бежит со скоростью $a$, а вторую половину пути ($S/2 = 1$ км) идёт со скоростью $b$.
Время на первом участке: $t_{С1} = \frac{1}{a}$ ч.
Время на втором участке: $t_{С2} = \frac{1}{b}$ ч.
Общее время Саши: $t_{Саша} = t_{С1} + t_{С2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}$ ч.

Рассчитаем время Даши:

Даша первую половину времени бежит, а вторую половину времени идёт. Пусть общее время Даши равно $t_{Даша}$.
Тогда первую половину времени, $t_{Даша}/2$, она бежит со скоростью $a$ и проходит расстояние $S_{Д1} = a \cdot \frac{t_{Даша}}{2}$.
Вторую половину времени, $t_{Даша}/2$, она идёт со скоростью $b$ и проходит расстояние $S_{Д2} = b \cdot \frac{t_{Даша}}{2}$.
Общее расстояние $S = S_{Д1} + S_{Д2} = a \frac{t_{Даша}}{2} + b \frac{t_{Даша}}{2} = \frac{t_{Даша}(a+b)}{2}$.
Так как общее расстояние равно 2 км, получаем:
$2 = \frac{t_{Даша}(a+b)}{2}$
Отсюда выразим время Даши: $t_{Даша} = \frac{4}{a+b}$ ч.

Сравним время Саши и Даши:

Нам нужно сравнить $t_{Саша} = \frac{a+b}{ab}$ и $t_{Даша} = \frac{4}{a+b}$.
Сравним их, рассмотрев разность $(a+b)^2 - 4ab$.
$(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Так как скорости бега и ходьбы различны ($a \neq b$), то $(a-b)^2 > 0$.
Следовательно, $(a+b)^2 > 4ab$.
Поскольку скорости $a$ и $b$ положительны, то и $ab > 0$ и $a+b > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $ab(a+b)$, не меняя знак неравенства:
$\frac{(a+b)^2}{ab(a+b)} > \frac{4ab}{ab(a+b)}$
$\frac{a+b}{ab} > \frac{4}{a+b}$
Таким образом, $t_{Саша} > t_{Даша}$.

Время Даши меньше времени Саши, значит, Даша доберётся до школы раньше.

Ответ: Даша доберётся до школы раньше.

148 Пользуясь неравенством $a + \frac{1}{a} \ge 2$, где $a > 0$, докажите, что:

а) $\frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 2$;

б) $\frac{x^2}{1 + x^4} \le \frac{1}{2}$.

Подсказка. б) Разделите числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части, на $x^2$.

Преобразуем левую часть доказываемого неравенства: $ \frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(x^2 + 1) + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $.
Введем замену: пусть $a = \sqrt{x^2 + 1}$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и, следовательно, $a = \sqrt{x^2 + 1} \ge 1$. Это означает, что $a > 0$.
Теперь мы можем применить данное в условии неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$.
Подставляя обратно выражение для $a$, получаем: $ \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 2 $.
Это и есть преобразованная левая часть исходного неравенства, что доказывает его справедливость.

Ответ: Неравенство доказано.

Рассмотрим два случая.
1. Если $x=0$, то левая часть неравенства равна $ \frac{0^2}{1 + 0^4} = 0 $. Неравенство принимает вид $0 \le \frac{1}{2}$, что является верным.
2. Если $x \ne 0$, воспользуемся подсказкой и разделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $x^2$: $ \frac{x^2}{1 + x^4} = \frac{x^2/x^2}{(1 + x^4)/x^2} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} + x^2} $.
Знаменатель полученной дроби имеет вид $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
Пусть $a = x^2$. Поскольку $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, значит, $a > 0$.
Применяя данное в условии неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$, получаем: $ x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2 $.
Так как знаменатель $x^2 + \frac{1}{x^2}$ положителен (он больше или равен 2), мы можем взять обратные величины от обеих частей неравенства, изменив знак на противоположный: $ \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}} \le \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \frac{x^2}{1 + x^4} \le \frac{1}{2} $ при $x \ne 0$.
Так как неравенство выполняется и при $x=0$, и при $x \ne 0$, оно доказано для всех действительных значений $x$.

Ответ: Неравенство доказано.