Страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

152 РАБОТАЕМ С ТЕРМИНАМИ

а) Известно, что длина листа бумаги равна $24 \text{ см}$ с точностью до $0,5 \text{ см}$. Может ли точное значение длины листа быть равным: $24,3 \text{ см}$; $24,8 \text{ см}$; $23,8 \text{ см}$; $23,3 \text{ см}$; $25 \text{ см}$?

б) Известно, что масса молока в пакете равна $1 \text{ кг}$ с точностью до $20 \text{ г}$. Может ли точное значение массы молока быть равным: $990 \text{ г}$; $950 \text{ г}$; $985 \text{ г}$; $1050 \text{ г}$; $1010 \text{ г}$; $1100 \text{ г}$?

а)

Если длина листа бумаги $a$ равна 24 см с точностью до $h = 0,5$ см, это означает, что точное значение длины листа $x$ находится в пределах от $a - h$ до $a + h$. Математически это записывается в виде двойного неравенства:

$a - h \le x \le a + h$

Подставим заданные значения:

$24 - 0,5 \le x \le 24 + 0,5$

$23,5 \le x \le 24,5$

Таким образом, точное значение длины листа должно находиться в интервале от 23,5 см до 24,5 см включительно. Теперь проверим предложенные значения, попадают ли они в этот интервал:

• 24,3 см: $23,5 \le 24,3 \le 24,5$. Неравенство верное, значит, длина может быть равна 24,3 см.
• 24,8 см: $23,5 \le 24,8 \le 24,5$. Неравенство неверное, так как $24,8 > 24,5$. Значит, длина не может быть равна 24,8 см.
• 23,8 см: $23,5 \le 23,8 \le 24,5$. Неравенство верное, значит, длина может быть равна 23,8 см.
• 23,3 см: $23,5 \le 23,3 \le 24,5$. Неравенство неверное, так как $23,3 < 23,5$. Значит, длина не может быть равна 23,3 см.
• 25 см: $23,5 \le 25 \le 24,5$. Неравенство неверное, так как $25 > 24,5$. Значит, длина не может быть равна 25 см.

Ответ: точное значение длины листа может быть равным 24,3 см и 23,8 см; не может быть равным 24,8 см, 23,3 см и 25 см.

б)

Если масса молока в пакете $m_{прибл}$ равна 1 кг с точностью до $h = 20$ г, то для определения диапазона возможных точных значений массы $m_{точн}$ необходимо привести все величины к одной единице измерения, например, к граммам.

$m_{прибл} = 1$ кг $= 1000$ г.

Точность $h = 20$ г.

Точное значение массы $m_{точн}$ должно удовлетворять неравенству:

$m_{прибл} - h \le m_{точн} \le m_{прибл} + h$

Подставим значения в граммах:

$1000 - 20 \le m_{точн} \le 1000 + 20$

$980 \le m_{точн} \le 1020$

Следовательно, точное значение массы молока должно находиться в интервале от 980 г до 1020 г включительно. Проверим предложенные значения:

• 990 г: $980 \le 990 \le 1020$. Неравенство верное, значит, масса может быть равна 990 г.
• 950 г: $980 \le 950 \le 1020$. Неравенство неверное, так как $950 < 980$. Значит, масса не может быть равна 950 г.
• 985 г: $980 \le 985 \le 1020$. Неравенство верное, значит, масса может быть равна 985 г.
• 1050 г: $980 \le 1050 \le 1020$. Неравенство неверное, так как $1050 > 1020$. Значит, масса не может быть равна 1050 г.
• 1010 г: $980 \le 1010 \le 1020$. Неравенство верное, значит, масса может быть равна 1010 г.
• 1100 г: $980 \le 1100 \le 1020$. Неравенство неверное, так как $1100 > 1020$. Значит, масса не может быть равна 1100 г.

Ответ: точное значение массы молока может быть равным 990 г, 985 г и 1010 г; не может быть равным 950 г, 1050 г и 1100 г.

153 Запишите результат каждого измерения с указанием его точности (т. е. в форме $a \pm h$) и в виде двойного неравенства:

а) $l \approx 15,4$ см;

б) $V \approx 18$ л;

в) $t \approx 21,7$ с;

г) $l \approx 0,8430$ м;

д) $S \approx 27,30$ м$^2$;

е) $\rho = 0,7$ г/см$^3$;

ж) $T = 36,6$ $^\circ$C;

з) $I \approx 1,5$ А.

а) Дано приближенное значение длины $l \approx 15,4 \text{ см}$.
Точность измерения $h$ определяется последней значащей цифрой. В данном случае это десятые доли сантиметра, то есть цена наименьшего деления прибора, которым проводилось измерение, составляет $0,1 \text{ см}$. Погрешность измерения принимается равной половине этой величины.
$h = \frac{0,1 \text{ см}}{2} = 0,05 \text{ см}$.
Записываем результат в форме $a \pm h$: $l = (15,4 \pm 0,05) \text{ см}$.
Записываем результат в виде двойного неравенства $a - h \le l \le a + h$:
$15,4 - 0,05 \le l \le 15,4 + 0,05$
$15,35 \text{ см} \le l \le 15,45 \text{ см}$.
Ответ: $l = (15,4 \pm 0,05) \text{ см}$; $15,35 \text{ см} \le l \le 15,45 \text{ см}$.

б) Дано приближенное значение объема $V \approx 18 \text{ л}$.
Последняя значащая цифра находится в разряде единиц, следовательно, точность измерения до $1 \text{ л}$. Погрешность $h$ равна:
$h = \frac{1 \text{ л}}{2} = 0,5 \text{ л}$.
В форме $a \pm h$: $V = (18 \pm 0,5) \text{ л}$.
В виде двойного неравенства $a-h \le V \le a+h$:
$18 - 0,5 \le V \le 18 + 0,5$
$17,5 \text{ л} \le V \le 18,5 \text{ л}$.
Ответ: $V = (18 \pm 0,5) \text{ л}$; $17,5 \text{ л} \le V \le 18,5 \text{ л}$.

в) Дано приближенное значение времени $t \approx 21,7 \text{ с}$.
Последняя значащая цифра находится в разряде десятых, то есть точность до $0,1 \text{ с}$. Погрешность $h$ равна:
$h = \frac{0,1 \text{ с}}{2} = 0,05 \text{ с}$.
В форме $a \pm h$: $t = (21,7 \pm 0,05) \text{ с}$.
В виде двойного неравенства $a-h \le t \le a+h$:
$21,7 - 0,05 \le t \le 21,7 + 0,05$
$21,65 \text{ с} \le t \le 21,75 \text{ с}$.
Ответ: $t = (21,7 \pm 0,05) \text{ с}$; $21,65 \text{ с} \le t \le 21,75 \text{ с}$.

г) Дано приближенное значение длины $l \approx 0,8430 \text{ м}$.
Последняя значащая цифра (ноль в конце) находится в разряде десятитысячных. Это означает, что точность измерения составляет $0,0001 \text{ м}$. Погрешность $h$ равна:
$h = \frac{0,0001 \text{ м}}{2} = 0,00005 \text{ м}$.
В форме $a \pm h$: $l = (0,8430 \pm 0,00005) \text{ м}$.
В виде двойного неравенства $a-h \le l \le a+h$:
$0,8430 - 0,00005 \le l \le 0,8430 + 0,00005$
$0,84295 \text{ м} \le l \le 0,84305 \text{ м}$.
Ответ: $l = (0,8430 \pm 0,00005) \text{ м}$; $0,84295 \text{ м} \le l \le 0,84305 \text{ м}$.

д) Дано приближенное значение площади $S \approx 27,30 \text{ м}^2$.
Последняя значащая цифра (ноль в конце) находится в разряде сотых, то есть точность до $0,01 \text{ м}^2$. Погрешность $h$ равна:
$h = \frac{0,01 \text{ м}^2}{2} = 0,005 \text{ м}^2$.
В форме $a \pm h$: $S = (27,30 \pm 0,005) \text{ м}^2$.
В виде двойного неравенства $a-h \le S \le a+h$:
$27,30 - 0,005 \le S \le 27,30 + 0,005$
$27,295 \text{ м}^2 \le S \le 27,305 \text{ м}^2$.
Ответ: $S = (27,30 \pm 0,005) \text{ м}^2$; $27,295 \text{ м}^2 \le S \le 27,305 \text{ м}^2$.

е) Дано приближенное значение плотности $\rho \approx 0,7 \text{ г/см}^3$.
Последняя значащая цифра находится в разряде десятых, то есть точность до $0,1 \text{ г/см}^3$. Погрешность $h$ равна:
$h = \frac{0,1 \text{ г/см}^3}{2} = 0,05 \text{ г/см}^3$.
В форме $a \pm h$: $\rho = (0,7 \pm 0,05) \text{ г/см}^3$.
В виде двойного неравенства $a-h \le \rho \le a+h$:
$0,7 - 0,05 \le \rho \le 0,7 + 0,05$
$0,65 \text{ г/см}^3 \le \rho \le 0,75 \text{ г/см}^3$.
Ответ: $\rho = (0,7 \pm 0,05) \text{ г/см}^3$; $0,65 \text{ г/см}^3 \le \rho \le 0,75 \text{ г/см}^3$.

ж) Дано приближенное значение температуры $T \approx 36,6 \text{ °C}$.
Последняя значащая цифра находится в разряде десятых, то есть точность до $0,1 \text{ °C}$. Погрешность $h$ равна:
$h = \frac{0,1 \text{ °C}}{2} = 0,05 \text{ °C}$.
В форме $a \pm h$: $T = (36,6 \pm 0,05) \text{ °C}$.
В виде двойного неравенства $a-h \le T \le a+h$:
$36,6 - 0,05 \le T \le 36,6 + 0,05$
$36,55 \text{ °C} \le T \le 36,65 \text{ °C}$.
Ответ: $T = (36,6 \pm 0,05) \text{ °C}$; $36,55 \text{ °C} \le T \le 36,65 \text{ °C}$.

з) Дано приближенное значение силы тока $I \approx 1,5 \text{ А}$.
Последняя значащая цифра находится в разряде десятых, то есть точность до $0,1 \text{ А}$. Погрешность $h$ равна:
$h = \frac{0,1 \text{ А}}{2} = 0,05 \text{ А}$.
В форме $a \pm h$: $I = (1,5 \pm 0,05) \text{ А}$.
В виде двойного неравенства $a-h \le I \le a+h$:
$1,5 - 0,05 \le I \le 1,5 + 0,05$
$1,45 \text{ А} \le I \le 1,55 \text{ А}$.
Ответ: $I = (1,5 \pm 0,05) \text{ А}$; $1,45 \text{ А} \le I \le 1,55 \text{ А}$.

154 Определите, имеют ли данные промежутки общую часть, и если да, то укажите её:

a) $x = 5 \pm 1, y = 7 \pm 2;$

б) $a = 12,3 \pm 0,5, b = 12,6 \pm 0,1;$

в) $m = 24 \pm 5, n = 26 \pm 5;$

г) $x = 0,85 \pm 0,05, y = 0,65 \pm 0,05.$

а) Запись $x = 5 \pm 1$ означает, что значение $x$ находится в промежутке $[5-1, 5+1]$, то есть $x \in [4, 6]$.
Аналогично, запись $y = 7 \pm 2$ означает, что значение $y$ находится в промежутке $[7-2, 7+2]$, то есть $y \in [5, 9]$.
Чтобы найти общую часть (пересечение) этих двух промежутков, $[4, 6]$ и $[5, 9]$, найдем отрезок $[\max(4, 5), \min(6, 9)]$.
Нижняя граница пересечения: $\max(4, 5) = 5$.
Верхняя граница пересечения: $\min(6, 9) = 6$.
Поскольку $5 \le 6$, общая часть существует и представляет собой отрезок $[5, 6]$.
Ответ: Да, общая часть есть, это промежуток $[5, 6]$.

б) Запись $a = 12,3 \pm 0,5$ означает промежуток $[12,3-0,5; 12,3+0,5]$, то есть $[11,8; 12,8]$.
Запись $b = 12,6 \pm 0,1$ означает промежуток $[12,6-0,1; 12,6+0,1]$, то есть $[12,5; 12,7]$.
Находим пересечение промежутков $[11,8; 12,8]$ и $[12,5; 12,7]$.
Нижняя граница пересечения: $\max(11,8; 12,5) = 12,5$.
Верхняя граница пересечения: $\min(12,8; 12,7) = 12,7$.
Так как $12,5 \le 12,7$, общая часть существует.
Ответ: Да, общая часть есть, это промежуток $[12,5; 12,7]$.

в) Запись $m = 24 \pm 5$ означает промежуток $[24-5, 24+5]$, то есть $[19, 29]$.
Запись $n = 26 \pm 5$ означает промежуток $[26-5, 26+5]$, то есть $[21, 31]$.
Находим пересечение промежутков $[19, 29]$ и $[21, 31]$.
Нижняя граница пересечения: $\max(19, 21) = 21$.
Верхняя граница пересечения: $\min(29, 31) = 29$.
Так как $21 \le 29$, общая часть существует.
Ответ: Да, общая часть есть, это промежуток $[21, 29]$.

г) Запись $x = 0,85 \pm 0,05$ означает промежуток $[0,85-0,05; 0,85+0,05]$, то есть $[0,80; 0,90]$.
Запись $y = 0,65 \pm 0,05$ означает промежуток $[0,65-0,05; 0,65+0,05]$, то есть $[0,60; 0,70]$.
Находим пересечение промежутков $[0,80; 0,90]$ и $[0,60; 0,70]$.
Нижняя граница пересечения: $\max(0,80; 0,60) = 0,80$.
Верхняя граница пересечения: $\min(0,90; 0,70) = 0,70$.
Так как нижняя граница $0,80$ больше верхней границы $0,70$, промежутки не пересекаются.
Ответ: Нет, данные промежутки не имеют общей части.

155 Как вы думаете, позволяют ли приведённые данные опроса с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А на выборах из двух кандидатов, если:

а) за кандидата А высказалось $57\% \pm 5\%$ избирателей, а за кандидата Б — $55\% \pm 5\%$;

б) за кандидата А высказалось $28\% \pm 4\%$ избирателей, а за кандидата Б — $17\% \pm 4\%$;

в) за кандидата А высказалось $31\% \pm 3\%$ избирателей, а за кандидата Б — $26\% \pm 3\%$?

Чтобы с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А, необходимо, чтобы его рейтинг был статистически значимо выше рейтинга кандидата Б. Это означает, что даже самый низкий возможный процент поддержки кандидата А (нижняя граница его доверительного интервала) должен быть выше самого высокого возможного процента поддержки кандидата Б (верхняя граница его доверительного интервала). Если доверительные интервалы кандидатов пересекаются, сделать однозначный прогноз невозможно.

Доверительный интервал для результата опроса, представленного в виде $X\% \pm Y\%$, определяется диапазоном $[X - Y, X + Y]$.

а) за кандидата А высказалось 57% ± 5% избирателей, а за кандидата Б — 55% ± 5%;

Рассчитаем доверительные интервалы для каждого кандидата:

• Для кандидата А: интервал поддержки $I_А$ составляет $[57\% - 5\%, 57\% + 5\%]$, то есть $[52\%, 62\%]$.
• Для кандидата Б: интервал поддержки $I_Б$ составляет $[55\% - 5\%, 55\% + 5\%]$, то есть $[50\%, 60\%]$.

Теперь сравним нижнюю границу для кандидата А ($A_{min} = 52\%$) с верхней границей для кандидата Б ($Б_{max} = 60\%$).

Поскольку $52\% < 60\%$, доверительные интервалы пересекаются. Это означает, что возможна ситуация, в которой кандидат Б получит больше голосов, чем кандидат А (например, Б — 59%, а А — 53%). Таким образом, разница в их рейтингах статистически незначима.

Ответ: нет, данные не позволяют с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.

б) за кандидата А высказалось 28% ± 4% избирателей, а за кандидата Б — 17% ± 4%;

Рассчитаем доверительные интервалы для каждого кандидата:

• Для кандидата А: $I_А = [28\% - 4\%, 28\% + 4\%] = [24\%, 32\%]$.
• Для кандидата Б: $I_Б = [17\% - 4\%, 17\% + 4\%] = [13\%, 21\%]$.

Сравним нижнюю границу для кандидата А ($A_{min} = 24\%$) с верхней границей для кандидата Б ($Б_{max} = 21\%$).

В этом случае $24\% > 21\%$. Нижняя граница поддержки кандидата А выше, чем верхняя граница поддержки кандидата Б. Это означает, что их доверительные интервалы не пересекаются, и кандидат А имеет статистически значимое преимущество над кандидатом Б. Несмотря на наличие неопределившихся избирателей, данные опроса указывают на уверенное лидерство кандидата А.

Ответ: да, на основании этих данных можно с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.

в) за кандидата А высказалось 31% ± 3% избирателей, а за кандидата Б — 26% ± 3%?

Рассчитаем доверительные интервалы для каждого кандидата:

• Для кандидата А: $I_А = [31\% - 3\%, 31\% + 3\%] = [28\%, 34\%]$.
• Для кандидата Б: $I_Б = [26\% - 3\%, 26\% + 3\%] = [23\%, 29\%]$.

Сравним нижнюю границу для кандидата А ($A_{min} = 28\%$) с верхней границей для кандидата Б ($Б_{max} = 29\%$).

Поскольку $28\% < 29\%$, доверительные интервалы пересекаются (область пересечения $[28\%, 29\%]$). Следовательно, возможен сценарий, при котором реальная поддержка кандидата Б окажется выше, чем у кандидата А (например, Б — 28.5%, а А — 28.1%). Разница в рейтингах находится в пределах статистической погрешности.

Ответ: нет, данные не позволяют с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.

156 Известны результаты испытаний на всхожесть семян одного и того же вида, подготовленных к посеву фирмами А и Б. Можно ли утверждать, что всхожесть семян какой-либо из этих двух фирм выше?

а) фирма A: $80\% \pm 2\%$, фирма Б: $90\% \pm 5\%$;

б) фирма A: $60\% \pm 3\%$, фирма Б: $52\% \pm 3\%$;

в) фирма A: $87\% \pm 5\%$, фирма Б: $85\% \pm 5\%$;

г) фирма A: $74\% \pm 4\%$, фирма Б: $81\% \pm 3\%$.

а) Для того чтобы утверждать, что всхожесть семян одной фирмы выше, чем у другой, необходимо, чтобы их доверительные интервалы не пересекались, и один интервал полностью лежал правее другого на числовой оси. Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $80\% \pm 2\%$, то есть $[\text{80-2, 80+2}] = [78\%; 82\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $90\% \pm 5\%$, то есть $[\text{90-5, 90+5}] = [85\%; 95\%]$.
Сравним интервалы $[78\%; 82\%]$ и $[85\%; 95\%]$. Нижняя граница для фирмы Б ($85\%$) больше, чем верхняя граница для фирмы А ($82\%$). Так как $85\% > 82\%$, интервалы не пересекаются, и интервал для Б находится правее. Это означает, что всхожесть семян фирмы Б гарантированно выше. Ответ: можно утверждать, что всхожесть семян фирмы Б выше.

б) Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $60\% \pm 3\%$, то есть $[\text{60-3, 60+3}] = [57\%; 63\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $52\% \pm 3\%$, то есть $[\text{52-3, 52+3}] = [49\%; 55\%]$.
Сравним интервалы: нижняя граница для фирмы А ($57\%$) больше, чем верхняя граница для фирмы Б ($55\%$). Так как $57\% > 55\%$, интервалы не пересекаются, и интервал для А находится правее. Это означает, что всхожесть семян фирмы А гарантированно выше. Ответ: можно утверждать, что всхожесть семян фирмы А выше.

в) Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $87\% \pm 5\%$, то есть $[\text{87-5, 87+5}] = [82\%; 92\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $85\% \pm 5\%$, то есть $[\text{85-5, 85+5}] = [80\%; 90\%]$.
Сравним интервалы $[82\%; 92\%]$ и $[80\%; 90\%]$. Они пересекаются, так как нижняя граница одного интервала меньше верхней границы другого ($82\% < 90\%$ и $80\% < 92\%$). Область пересечения: $[\max(82\%, 80\%), \min(92\%, 90\%)] = [82\%; 90\%]$. Поскольку интервалы всхожести пересекаются, нельзя сделать однозначный вывод о том, у какой фирмы всхожесть выше. Ответ: нельзя утверждать, что всхожесть семян какой-либо из этих двух фирм выше.

г) Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $74\% \pm 4\%$, то есть $[\text{74-4, 74+4}] = [70\%; 78\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $81\% \pm 3\%$, то есть $[\text{81-3, 81+3}] = [78\%; 84\%]$.
Сравним интервалы $[70\%; 78\%]$ и $[78\%; 84\%]$. Верхняя граница интервала для фирмы А ($78\%$) совпадает с нижней границей интервала для фирмы Б. Это означает, что всхожесть семян фирмы Б не ниже, чем у фирмы А (математически $p_Б \ge p_А$), но они могут быть равны, если истинное значение для обеих фирм равно $78\%$. Поскольку вопрос ставится о том, "выше" ли всхожесть (что подразумевает строгое неравенство), а не "не ниже", то однозначно утверждать этого нельзя. Ответ: нельзя утверждать, что всхожесть семян какой-либо из этих двух фирм выше.