Страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

149 Исследуем

1) а) С помощью числовых примеров выясните, как меняет-ся — увеличивается или уменьшается — значение правильной дроби при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа. (Напомним, что числитель и знаменатель правильной дроби — натуральные числа и числи-тель меньше знаменателя.)

б) Запишите в буквенном виде установленную закономерность. Докажите записанное неравенство.

2) Проведите такое же исследование для неправильной дроби.

1) a)

Для того чтобы выяснить, как меняется значение правильной дроби, рассмотрим несколько числовых примеров. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Пример 1:

Возьмем правильную дробь $ \frac{3}{5} $. Прибавим к ее числителю и знаменателю положительное число 2.

Получим новую дробь: $ \frac{3+2}{5+2} = \frac{5}{7} $.

Теперь сравним исходную дробь $ \frac{3}{5} $ и полученную $ \frac{5}{7} $. Для этого приведем их к общему знаменателю 35:

$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35} $

$ \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35} $

Поскольку $ 21 < 25 $, то $ \frac{21}{35} < \frac{25}{35} $, а значит $ \frac{3}{5} < \frac{5}{7} $. Значение дроби увеличилось.

Пример 2:

Возьмем правильную дробь $ \frac{1}{4} $. Прибавим к ее числителю и знаменателю положительное число 10.

Получим новую дробь: $ \frac{1+10}{4+10} = \frac{11}{14} $.

Сравним $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{11}{14} $. Приведем их к общему знаменателю 28:

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{7}{28} $

$ \frac{11}{14} = \frac{11 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{22}{28} $

Поскольку $ 7 < 22 $, то $ \frac{7}{28} < \frac{22}{28} $, а значит $ \frac{1}{4} < \frac{11}{14} $. Значение дроби снова увеличилось.

На основе этих примеров можно сделать вывод, что при прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби одного и того же положительного числа, значение дроби увеличивается.

Ответ: Значение правильной дроби увеличивается.

1) б)

Запишем установленную закономерность в буквенном виде. Пусть дана правильная дробь $ \frac{a}{b} $, где $ a, b $ — натуральные числа и $ a < b $. Пусть $ c $ — любое положительное число ($ c > 0 $). Тогда, согласно выводу из пункта а), должно выполняться неравенство:

$ \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c} $

Доказательство неравенства:

Чтобы доказать данное неравенство, найдем разность между правой и левой частями и покажем, что она положительна.

$ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ b(b+c) $:

$ \frac{(a+c)b}{b(b+c)} - \frac{a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)} = \frac{bc - ac}{b(b+c)} = \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $

Теперь проанализируем знак полученного выражения:

• $ c > 0 $ по условию.
• Так как $ \frac{a}{b} $ — правильная дробь, то $ a < b $, следовательно разность $ b - a > 0 $.
• Числитель $ c(b-a) $ является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен.
• Так как $ b $ — натуральное число, то $ b > 0 $. Знаменатель $ b(b+c) $ также является произведением положительных чисел и, следовательно, положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $ положительны, то сама дробь положительна. Значит, разность $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} > 0 $, что доказывает исходное неравенство $ \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c} $.

Ответ: Закономерность в буквенном виде: если $ a, b $ — натуральные числа, $ a < b $, и $ c > 0 $, то выполняется неравенство $ \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c} $. Доказательство приведено выше.

2)

Проведем аналогичное исследование для неправильной дроби. Неправильная дробь $ \frac{a}{b} $ — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($ a \geq b $).

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Числитель строго больше знаменателя ($ a > b $).

Пример: Возьмем неправильную дробь $ \frac{5}{2} $. Прибавим к числителю и знаменателю число 3.

Получим новую дробь: $ \frac{5+3}{2+3} = \frac{8}{5} $.

Сравним дроби $ \frac{5}{2} $ и $ \frac{8}{5} $. В виде десятичных дробей: $ \frac{5}{2} = 2.5 $, а $ \frac{8}{5} = 1.6 $.

Так как $ 2.5 > 1.6 $, то $ \frac{5}{2} > \frac{8}{5} $. Значение дроби уменьшилось.

Случай 2: Числитель равен знаменателю ($ a = b $).

Пример: Возьмем дробь $ \frac{4}{4} = 1 $. Прибавим к числителю и знаменателю число 5.

Получим новую дробь: $ \frac{4+5}{4+5} = \frac{9}{9} = 1 $.

Значение дроби не изменилось.

Обобщение и доказательство:

Используем разность, выведенную в пункте 1б): $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $.

Знак этой разности определяется знаком выражения $ (b-a) $, так как все остальные множители ($ c, b, b+c $) положительны.

• Если $ a > b $ (строго неправильная дробь), то разность $ b-a < 0 $. Следовательно, вся разность $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} < 0 $. Это означает, что $ \frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b} $, то есть значение дроби уменьшается.
• Если $ a = b $ (дробь равна 1), то разность $ b-a = 0 $. Следовательно, вся разность $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} = 0 $. Это означает, что $ \frac{a+c}{b+c} = \frac{a}{b} $, то есть значение дроби не изменяется.

Ответ: При прибавлении к числителю и знаменателю неправильной дроби $ \frac{a}{b} $ одного и того же положительного числа:
1. Если числитель больше знаменателя ($ a > b $), значение дроби уменьшается.
2. Если числитель равен знаменателю ($ a = b $), значение дроби не изменяется (остается равным 1).