Страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

125 Поставьте вместо многоточия такой знак неравенства, чтобы получившееся утверждение было верным при любых значениях переменных:

а) $x^2 + y^2 \dots 0;$

б) $(x + y)^2 \dots 0;$

в) $(x - y)^2 \dots 0;$

г) $-(x + y)^2 \dots 0;$

д) $x^2 \dots 0;$

е) $-x^2 \dots 0;$

ж) $x^2 + 1 \dots 0;$

з) $-x^2 - 1 \dots 0;$

и) $\frac{1}{x^2 + 1} \dots 0;$

к) $-\frac{1}{x^2 + 1} \dots 0.$

а) Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Равенство достигается, когда $x=0$ и $y=0$. Следовательно, $x^2 + y^2 \ge 0$.
Ответ: $x^2 + y^2 \ge 0$

б) Выражение $(x + y)^2$ представляет собой квадрат действительного числа $(x+y)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда $x+y=0$. Следовательно, $(x + y)^2 \ge 0$.
Ответ: $(x + y)^2 \ge 0$

в) Выражение $(x - y)^2$ представляет собой квадрат действительного числа $(x-y)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда $x-y=0$, то есть $x=y$. Следовательно, $(x - y)^2 \ge 0$.
Ответ: $(x - y)^2 \ge 0$

г) Из пункта б) мы знаем, что $(x + y)^2 \ge 0$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (-1), знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, получаем $-(x + y)^2 \le 0$.
Ответ: $-(x + y)^2 \le 0$

д) Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа $x$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $x=0$. Следовательно, $x^2 \ge 0$.
Ответ: $x^2 \ge 0$

е) Из пункта д) известно, что $x^2 \ge 0$. Умножая обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный. Таким образом, $-x^2 \le 0$.
Ответ: $-x^2 \le 0$

ж) Мы знаем, что $x^2 \ge 0$. Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то выражение $x^2 + 1$ всегда строго больше нуля.
Ответ: $x^2 + 1 > 0$

з) Мы знаем, что $-x^2 \le 0$. Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $-x^2 - 1 \le -1$. Так как $-1 < 0$, то выражение $-x^2 - 1$ всегда строго меньше нуля.
Ответ: $-x^2 - 1 < 0$

и) Числитель дроби равен 1 (положительное число). Знаменатель дроби, $x^2+1$, как мы выяснили в пункте ж), всегда строго положителен ($x^2+1 > 0$). Частное от деления положительного числа на положительное всегда положительно.
Ответ: $\frac{1}{x^2 + 1} > 0$

к) Из пункта и) мы знаем, что дробь $\frac{1}{x^2+1}$ всегда положительна. При умножении положительного выражения на -1, результат всегда будет отрицательным, то есть строго меньшим нуля.
Ответ: $-\frac{1}{x^2 + 1} < 0$

126 Докажите свойства неравенств:

а) если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$;

б) если $a > b$, то $a + c > b + c$;

в) если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$;

г) если $a \le b$ и $c < 0$, то $ac \ge bc$.

а) По определению, неравенство $a \le b$ означает, что разность $b - a$ является неотрицательным числом, то есть $b - a \ge 0$. Аналогично, неравенство $b \le c$ означает, что разность $c - b$ также является неотрицательным числом, то есть $c - b \ge 0$.

Чтобы доказать, что $a \le c$, нам нужно показать, что разность $c - a$ является неотрицательным числом.

Рассмотрим разность $c - a$ и преобразуем ее, прибавив и вычтя $b$: $c - a = c - b + b - a = (c - b) + (b - a)$.

Мы знаем, что оба слагаемых в полученной сумме неотрицательны: $(c - b) \ge 0$ и $(b - a) \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна.

Следовательно, $(c - b) + (b - a) \ge 0$, а значит и $c - a \ge 0$. Это по определению означает, что $a \le c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.

Чтобы доказать, что $a + c > b + c$, рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: $(a + c) - (b + c)$.

Упростим данное выражение: $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.

Так как по условию $a > b$, то мы знаем, что $a - b > 0$. Следовательно, разность $(a + c) - (b + c)$ является положительным числом.

Это означает, что $a + c > b + c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) По условию даны неравенства $a > b$ и $c > 0$. Неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ положительна, то есть $a - b > 0$.

Чтобы доказать, что $ac > bc$, рассмотрим разность $ac - bc$.

Вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение двух множителей: $c$ и $(a - b)$. По условию, $c > 0$ (положительное число), и мы установили, что $a - b > 0$ (положительное число).

Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $c(a - b) > 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ положительна, что означает $ac > bc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) По условию даны неравенства $a \le b$ и $c < 0$. Неравенство $a \le b$ означает, что разность $a - b$ является неположительным числом (т.е. меньше или равна нулю), то есть $a - b \le 0$.

Чтобы доказать, что $ac \ge bc$, рассмотрим разность $ac - bc$.

Вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение двух множителей: $c$ и $(a - b)$. По условию $c < 0$ (отрицательное число). Мы также знаем, что $a - b \le 0$ (неположительное число).

Произведение отрицательного числа на неположительное (отрицательное или ноль) является неотрицательным числом (положительным или нулем).
Действительно, если $a < b$, то $a - b < 0$, и произведение $c(a - b)$ будет положительным. Если $a = b$, то $a - b = 0$, и произведение $c(a - b)$ будет равно нулю.

Таким образом, в любом случае $c(a - b) \ge 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ неотрицательна, что означает $ac \ge bc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

127 Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$:

а) $a^2 + b^2 \geq 2ab;$

б) $(a + b)b \geq ab;$

в) $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab;$

г) $a(a - b) \geq b(a - b);$

д) $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a;$

е) $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}.$

а) Чтобы доказать неравенство $a^2 + b^2 \geq 2ab$, перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Левая часть этого неравенства является формулой квадрата разности чисел $a$ и $b$:

$(a - b)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$. Равенство достигается, когда $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(a + b)b \geq ab$, раскроем скобки в левой части:

$ab + b^2 \geq ab$

Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $ab$:

$b^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа $b$ всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$. Равенство достигается при $b = 0$.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$, перенесем $4ab$ в левую часть:

$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \geq 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Левая часть является квадратом разности:

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $a(a - b) \geq b(a - b)$, перенесем выражение из правой части в левую:

$a(a - b) - b(a - b) \geq 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a - b) \geq 0$

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано.

д) Чтобы доказать неравенство $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a$, умножим обе части на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства не изменится:

$a^2 + 1 \geq 2a$

Перенесем $2a$ в левую часть:

$a^2 - 2a + 1 \geq 0$

Левая часть является квадратом разности:

$(a - 1)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любого числа $a$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Равенство достигается при $a = 1$.

Ответ: Неравенство доказано.

е) Чтобы доказать неравенство $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$, преобразуем его. Заметим, что знаменатель $a^2 + 1$ всегда положителен при любом $a$ (так как $a^2 \geq 0$, то $a^2 + 1 \geq 1$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $2(a^2 + 1)$, не меняя знака неравенства:

$2(a^2 + 1) \cdot \frac{a}{a^2 + 1} \leq 2(a^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}$

$2a \leq a^2 + 1$

Перенесем $2a$ в правую часть:

$0 \leq a^2 - 2a + 1$

Правая часть является квадратом разности:

$0 \leq (a - 1)^2$

Это неравенство верно для любого числа $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a = 1$.

Ответ: Неравенство доказано.

128 a) Пусть $a$ и $b$ — положительные числа и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

б) Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

а)

Чтобы сравнить дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $, можно рассмотреть их разность и определить её знак.

$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $

Приведём дроби к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b - a}{ab} $

Теперь проанализируем знак полученного выражения, исходя из условий задачи:

1. По условию $ a < b $, следовательно, разность $ b - a $ будет положительной, то есть $ b - a > 0 $.
2. По условию $ a $ и $ b $ — положительные числа ($ a > 0, b > 0 $), значит, их произведение $ ab $ также будет положительным, то есть $ ab > 0 $.

В итоге мы делим положительное число ($ b - a $) на положительное число ($ ab $). Результат этой дроби будет положительным:

$ \frac{b - a}{ab} > 0 $

Поскольку разность $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ положительна, это означает, что уменьшаемое ($ \frac{1}{a} $) больше вычитаемого ($ \frac{1}{b} $).

Ответ: $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

б)

Поступим аналогично, рассмотрев разность дробей $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $:

$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} $

Проанализируем знак этого выражения с учётом новых условий:

1. По условию $ a < b $, следовательно, разность $ b - a $ по-прежнему положительна: $ b - a > 0 $.
2. По условию $ a $ и $ b $ — отрицательные числа ($ a < 0, b < 0 $). Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, значит $ ab > 0 $.

В этом случае мы снова делим положительное число ($ b - a $) на положительное число ($ ab $). Результат будет положительным:

$ \frac{b - a}{ab} > 0 $

Так как разность $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ положительна, то уменьшаемое ($ \frac{1}{a} $) больше вычитаемого ($ \frac{1}{b} $).

Ответ: $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

129 Докажите, что если $a > 0$, то $a + \frac{1}{a} \geq 2$.

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Докажите, что если a > 0, то a + 1/a ≥ 2.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом равносильных преобразований. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

$a + \frac{1}{a} - 2$

Приведем выражение к общему знаменателю. Поскольку по условию $a > 0$, знаменатель не равен нулю.

$\frac{a^2}{a} + \frac{1}{a} - \frac{2a}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a}$

В числителе мы видим формулу квадрата разности: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{(a - 1)^2}{a}$

Теперь проанализируем знак этого выражения:

• Числитель $(a - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$.
• Знаменатель $a$ по условию положителен, то есть $a > 0$.

Частное от деления неотрицательного числа на положительное число всегда является неотрицательным. Следовательно:

$\frac{(a - 1)^2}{a} \ge 0$

Это означает, что $a + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$, откуда следует, что $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда числитель равен нулю, то есть $(a - 1)^2 = 0$, что возможно только при $a=1$.

Ответ: Неравенство доказано путем преобразования разности его частей к выражению $\frac{(a - 1)^2}{a}$, которое всегда неотрицательно при $a > 0$.

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Словесная формулировка:

Сумма любого положительного числа и обратного ему числа всегда не меньше двух. Равенство (сумма равна двум) достигается только в том случае, если само число равно единице.

Примеры:

• Пусть $a = 2$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5$. Как видим, $2.5 \ge 2$.
• Пусть $a = 10$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 10 + \frac{1}{10} = 10.1$. Как видим, $10.1 \ge 2$.
• Пусть $a = 0.5$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 0.5 + \frac{1}{0.5} = 0.5 + 2 = 2.5$. Как видим, $2.5 \ge 2$.
• Пусть $a = 1$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 1 + \frac{1}{1} = 2$. В этом случае достигается равенство: $2 \ge 2$.
• Пусть $a = 4$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 4 + \frac{1}{4} = 4.25$. Как видим, $4.25 \ge 2$.

Ответ: Свойство: сумма положительного числа и числа, обратного ему, всегда больше или равна 2. Примеры, подтверждающие это свойство, приведены выше.

130 Известно, что $x > 2$. Сравните с нулём:

1) $x - 2, 2 - x, x - 1, 1 - x;$

2) $x(2 - x), (x - 1)(x - 2), (2 - x)(x - 1).$

1) Сравним с нулём выражения $x - 2$, $2 - x$, $x - 1$, $1 - x$, используя условие $x > 2$.

• Для выражения $x - 2$:

  Поскольку $x > 2$, мы можем вычесть 2 из обеих частей неравенства, чтобы получить:

  $x - 2 > 2 - 2$

  $x - 2 > 0$

  Таким образом, выражение $x-2$ положительно (больше нуля).

• Для выражения $2 - x$:

  Это выражение является противоположным к предыдущему: $2 - x = -(x - 2)$. Поскольку мы уже установили, что $x-2 > 0$, то:

  $ -(x - 2) < 0$

  $2 - x < 0$

  Таким образом, выражение $2-x$ отрицательно (меньше нуля).

• Для выражения $x - 1$:

  Нам известно, что $x > 2$. Поскольку $2 > 1$, то по свойству транзитивности $x > 1$. Вычтем 1 из обеих частей неравенства $x > 1$:

  $x - 1 > 1 - 1$

  $x - 1 > 0$

  Таким образом, выражение $x-1$ положительно (больше нуля).

• Для выражения $1 - x$:

  Это выражение является противоположным к $x - 1$. Так как $x - 1 > 0$, то:

  $1 - x = -(x-1) < 0$

  Таким образом, выражение $1-x$ отрицательно (меньше нуля).

Ответ: $x - 2 > 0$; $2 - x < 0$; $x - 1 > 0$; $1 - x < 0$.

2) Сравним с нулём произведения $x(2 - x)$, $(x - 1)(x - 2)$, $(2 - x)(x - 1)$.

• Для выражения $x(2 - x)$:

  Определим знаки множителей. Из условия $x > 2$ следует, что $x$ — положительное число ($x > 0$). Из пункта 1 мы знаем, что множитель $2 - x$ — отрицательное число ($2 - x < 0$). Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.

  $x(2 - x) < 0$

  Следовательно, выражение меньше нуля.

• Для выражения $(x - 1)(x - 2)$:

  Определим знаки множителей. Из пункта 1 мы знаем, что $x - 1 > 0$ (положительное) и $x - 2 > 0$ (положительное). Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

  $(x - 1)(x - 2) > 0$

  Следовательно, выражение больше нуля.

• Для выражения $(2 - x)(x - 1)$:

  Определим знаки множителей. Из пункта 1 мы знаем, что $2 - x < 0$ (отрицательное) и $x - 1 > 0$ (положительное). Произведение отрицательного числа на положительное есть число отрицательное.

  $(2 - x)(x - 1) < 0$

  Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $x(2 - x) < 0$; $(x - 1)(x - 2) > 0$; $(2 - x)(x - 1) < 0$.