Номер 127, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 127, страница 47.

127 Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$:

а) $a^2 + b^2 \geq 2ab;$

б) $(a + b)b \geq ab;$

в) $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab;$

г) $a(a - b) \geq b(a - b);$

д) $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a;$

е) $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}.$

а) Чтобы доказать неравенство $a^2 + b^2 \geq 2ab$, перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Левая часть этого неравенства является формулой квадрата разности чисел $a$ и $b$:

$(a - b)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$. Равенство достигается, когда $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(a + b)b \geq ab$, раскроем скобки в левой части:

$ab + b^2 \geq ab$

Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $ab$:

$b^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа $b$ всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$. Равенство достигается при $b = 0$.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$, перенесем $4ab$ в левую часть:

$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \geq 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Левая часть является квадратом разности:

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $a(a - b) \geq b(a - b)$, перенесем выражение из правой части в левую:

$a(a - b) - b(a - b) \geq 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a - b) \geq 0$

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано.

д) Чтобы доказать неравенство $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a$, умножим обе части на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства не изменится:

$a^2 + 1 \geq 2a$

Перенесем $2a$ в левую часть:

$a^2 - 2a + 1 \geq 0$

Левая часть является квадратом разности:

$(a - 1)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любого числа $a$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Равенство достигается при $a = 1$.

Ответ: Неравенство доказано.

е) Чтобы доказать неравенство $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$, преобразуем его. Заметим, что знаменатель $a^2 + 1$ всегда положителен при любом $a$ (так как $a^2 \geq 0$, то $a^2 + 1 \geq 1$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $2(a^2 + 1)$, не меняя знака неравенства:

$2(a^2 + 1) \cdot \frac{a}{a^2 + 1} \leq 2(a^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}$

$2a \leq a^2 + 1$

Перенесем $2a$ в правую часть:

$0 \leq a^2 - 2a + 1$

Правая часть является квадратом разности:

$0 \leq (a - 1)^2$

Это неравенство верно для любого числа $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a = 1$.

Ответ: Неравенство доказано.