Номер 133, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 133, страница 48.

133 Докажите, что полупериметр треугольника больше любой из его сторон.

Пусть дан треугольник со сторонами, длины которых равны $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон, то есть $P = a + b + c$.

Полупериметр $p$ по определению равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Необходимо доказать, что полупериметр больше любой из сторон треугольника. Это означает, что мы должны доказать справедливость трех неравенств: $p > a$, $p > b$ и $p > c$.

Для доказательства воспользуемся фундаментальным свойством любого треугольника — неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для нашего треугольника это записывается в виде системы неравенств:

$b + c > a$
$a + c > b$
$a + b > c$

Теперь докажем каждое из трех утверждений для полупериметра.

1. Докажем, что $p > a$.
Возьмем доказываемое неравенство и подставим в него формулу для полупериметра:
$\frac{a + b + c}{2} > a$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$a + b + c > 2a$
Теперь вычтем $a$ из обеих частей неравенства:
$b + c > a$
Полученное неравенство $b + c > a$ является одним из условий неравенства треугольника, поэтому оно всегда истинно. Следовательно, и равносильное ему исходное неравенство $p > a$ также истинно.

2. Докажем, что $p > b$.
Проведем аналогичные преобразования:
$\frac{a + b + c}{2} > b$
$a + b + c > 2b$
$a + c > b$
Это также одно из неравенств треугольника, а значит, оно верно. Таким образом, неравенство $p > b$ доказано.

3. Докажем, что $p > c$.
Повторим шаги для третьей стороны:
$\frac{a + b + c}{2} > c$
$a + b + c > 2c$
$a + b > c$
Это последнее из трех неравенств треугольника, и оно также является верным. Значит, неравенство $p > c$ доказано.

Таким образом, мы показали, что полупериметр треугольника больше каждой из его трех сторон, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой стороны треугольника, например стороны $a$, неравенство $p > a$ справедливо, так как оно эквивалентно верному неравенству треугольника $b + c > a$. Аналогичные рассуждения применимы и для сторон $b$ и $c$.