Номер 139, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 139, страница 49.

139 Пусть a, b, c и d — положительные числа. Докажите, что $\frac{a}{b} \le \frac{c}{d}$ в том и только в том случае, когда $ad - bc \le 0$.

Пользуясь этим фактом, сравните дроби: $\frac{5}{18}$ и $\frac{6}{17}$; $\frac{8}{19}$ и $\frac{7}{22}$.

Доказательство

Требуется доказать, что для положительных чисел $a, b, c, d$ неравенство $\frac{a}{b} \le \frac{c}{d}$ является равносильным (выполняется в том и только в том случае) неравенству $ad - bc \le 0$. Доказательство равносильности требует обоснования в обе стороны.

Доказательство в прямую сторону ($\implies$):
Предположим, что $\frac{a}{b} \le \frac{c}{d}$. Так как по условию $b > 0$ и $d > 0$, их произведение $bd$ также положительно. Умножим обе части неравенства на $bd$, при этом знак неравенства не изменится: $$ \frac{a}{b} \cdot bd \le \frac{c}{d} \cdot bd $$ $$ ad \le bc $$ Перенеся $bc$ в левую часть, получим $ad - bc \le 0$.

Доказательство в обратную сторону ($\impliedby$):
Теперь предположим, что $ad - bc \le 0$. Перенесем $bc$ в правую часть: $$ ad \le bc $$ Так как $b > 0$ и $d > 0$, разделим обе части неравенства на положительное число $bd$. Знак неравенства сохранится: $$ \frac{ad}{bd} \le \frac{bc}{bd} $$ $$ \frac{a}{b} \le \frac{c}{d} $$

Поскольку следование доказано в обе стороны, утверждение полностью доказано.

Пользуясь этим фактом, сравните дроби

Сравнение дробей $\frac{5}{18}$ и $\frac{6}{17}$

Для сравнения дробей $\frac{a}{b} = \frac{5}{18}$ и $\frac{c}{d} = \frac{6}{17}$ воспользуемся доказанным правилом. Вычислим значение выражения $ad - bc$: $$ ad - bc = 5 \cdot 17 - 18 \cdot 6 = 85 - 108 = -23 $$ Поскольку $ad - bc = -23 < 0$, то выполняется неравенство $ad - bc \le 0$. Следовательно, $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
Ответ: $\frac{5}{18} < \frac{6}{17}$.

Сравнение дробей $\frac{8}{19}$ и $\frac{7}{22}$

Для сравнения дробей $\frac{a}{b} = \frac{8}{19}$ и $\frac{c}{d} = \frac{7}{22}$ вычислим значение выражения $ad - bc$: $$ ad - bc = 8 \cdot 22 - 19 \cdot 7 = 176 - 133 = 43 $$ Поскольку $ad - bc = 43 > 0$, неравенство $ad - bc \le 0$ не выполняется. Это означает, что выполняется обратное неравенство, то есть $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
Ответ: $\frac{8}{19} > \frac{7}{22}$.