Номер 142, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 142, страница 49.

142 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Сравните:

а) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$;

б) $\sqrt{5} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{8}$;

в) $\sqrt{15} + \sqrt{17}$ и $8$;

г) $16$ и $\sqrt{65} + \sqrt{63}$;

д) $\sqrt{8} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3}$;

е) $\sqrt{17} - \sqrt{6}$ и $\sqrt{12} - \sqrt{3}$;

ж) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$;

з) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{14}}{3}$ и $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{13}}{3}$.

Совет. Воспользуйтесь рассуждением, приведённым в примере 4.

а) Чтобы сравнить выражения $ \sqrt{3} + \sqrt{5} $ и $ \sqrt{2} + \sqrt{6} $, возведем их в квадрат, так как оба выражения положительны. Квадрат первого выражения равен $ (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 5} + 5 = 8 + 2\sqrt{15} $. Квадрат второго выражения равен $ (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{2 \cdot 6} + 6 = 8 + 2\sqrt{12} $. Теперь сравним полученные выражения: $ 8 + 2\sqrt{15} $ и $ 8 + 2\sqrt{12} $. Это равносильно сравнению $ 2\sqrt{15} $ и $ 2\sqrt{12} $, или $ \sqrt{15} $ и $ \sqrt{12} $. Так как $ 15 > 12 $, то $ \sqrt{15} > \sqrt{12} $. Следовательно, $ 8 + 2\sqrt{15} > 8 + 2\sqrt{12} $, а значит и $ (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 > (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 $. Поскольку исходные выражения положительны, то $ \sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6} $.
Ответ: $ \sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6} $.

б) Чтобы сравнить выражения $ \sqrt{5} + \sqrt{6} $ и $ \sqrt{3} + \sqrt{8} $, возведем их в квадрат, так как оба положительны. Квадрат первого выражения: $ (\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 6} + 6 = 11 + 2\sqrt{30} $. Квадрат второго выражения: $ (\sqrt{3} + \sqrt{8})^2 = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 8} + 8 = 11 + 2\sqrt{24} $. Сравним $ 11 + 2\sqrt{30} $ и $ 11 + 2\sqrt{24} $. Это равносильно сравнению $ \sqrt{30} $ и $ \sqrt{24} $. Так как $ 30 > 24 $, то $ \sqrt{30} > \sqrt{24} $. Следовательно, $ 11 + 2\sqrt{30} > 11 + 2\sqrt{24} $, а значит $ \sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8} $.
Ответ: $ \sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8} $.

в) Чтобы сравнить $ \sqrt{15} + \sqrt{17} $ и $ 8 $, возведем в квадрат оба числа, так как они положительны. Квадрат первого числа: $ (\sqrt{15} + \sqrt{17})^2 = 15 + 2\sqrt{15 \cdot 17} + 17 = 32 + 2\sqrt{255} $. Квадрат второго числа: $ 8^2 = 64 $. Теперь сравним $ 32 + 2\sqrt{255} $ и $ 64 $. Вычтем 32 из обеих частей: сравним $ 2\sqrt{255} $ и $ 32 $. Разделим обе части на 2: сравним $ \sqrt{255} $ и $ 16 $. Возведем в квадрат: сравним $ 255 $ и $ 16^2=256 $. Так как $ 255 < 256 $, то $ \sqrt{255} < 16 $. Возвращаясь к исходному сравнению, получаем, что $ 32 + 2\sqrt{255} < 64 $, а значит $ \sqrt{15} + \sqrt{17} < 8 $.
Ответ: $ \sqrt{15} + \sqrt{17} < 8 $.

г) Чтобы сравнить $ 16 $ и $ \sqrt{65} + \sqrt{63} $, возведем оба числа в квадрат. $ 16^2 = 256 $. $ (\sqrt{65} + \sqrt{63})^2 = 65 + 2\sqrt{65 \cdot 63} + 63 = 128 + 2\sqrt{4095} $. Сравним $ 256 $ и $ 128 + 2\sqrt{4095} $. Вычтем 128 из обеих частей: сравним $ 128 $ и $ 2\sqrt{4095} $. Разделим на 2: сравним $ 64 $ и $ \sqrt{4095} $. Возведем в квадрат: сравним $ 64^2 = 4096 $ и $ 4095 $. Так как $ 4096 > 4095 $, то $ 64 > \sqrt{4095} $. Следовательно, $ 256 > 128 + 2\sqrt{4095} $, а значит $ 16 > \sqrt{65} + \sqrt{63} $.
Ответ: $ 16 > \sqrt{65} + \sqrt{63} $.

д) Сравним $ \sqrt{8} - \sqrt{2} $ и $ \sqrt{10} - \sqrt{3} $. Упростим первое выражение: $ \sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} $. Теперь задача сводится к сравнению $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{10} - \sqrt{3} $. Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. $ (\sqrt{2})^2 = 2 $. $ (\sqrt{10} - \sqrt{3})^2 = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 3} + 3 = 13 - 2\sqrt{30} $. Сравним $ 2 $ и $ 13 - 2\sqrt{30} $. Это равносильно сравнению $ 2\sqrt{30} $ и $ 11 $. Возведем в квадрат: $ (2\sqrt{30})^2 = 4 \cdot 30 = 120 $ и $ 11^2 = 121 $. Так как $ 120 < 121 $, то $ 2\sqrt{30} < 11 $. Отсюда $ -2\sqrt{30} > -11 $, и $ 13 - 2\sqrt{30} > 13 - 11 = 2 $. Таким образом, $ (\sqrt{10} - \sqrt{3})^2 > (\sqrt{2})^2 $, а значит $ \sqrt{10} - \sqrt{3} > \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{8} - \sqrt{2} < \sqrt{10} - \sqrt{3} $.

е) Сравним $ \sqrt{17} - \sqrt{6} $ и $ \sqrt{12} - \sqrt{3} $. Оба выражения положительны, возведем их в квадрат. $ (\sqrt{17} - \sqrt{6})^2 = 17 - 2\sqrt{17 \cdot 6} + 6 = 23 - 2\sqrt{102} $. $ (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2 = 12 - 2\sqrt{12 \cdot 3} + 3 = 15 - 2\sqrt{36} = 15 - 2 \cdot 6 = 3 $. Сравним $ 23 - 2\sqrt{102} $ и $ 3 $. Это равносильно сравнению $ 20 $ и $ 2\sqrt{102} $, или $ 10 $ и $ \sqrt{102} $. Возведем в квадрат: $ 10^2 = 100 $ и $ (\sqrt{102})^2 = 102 $. Так как $ 100 < 102 $, то $ 10 < \sqrt{102} $. Отсюда $ 20 < 2\sqrt{102} $, и $ -20 > -2\sqrt{102} $. Тогда $ 23 - 20 > 23 - 2\sqrt{102} $, то есть $ 3 > 23 - 2\sqrt{102} $. Следовательно, $ (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2 > (\sqrt{17} - \sqrt{6})^2 $, а значит $ \sqrt{12} - \sqrt{3} > \sqrt{17} - \sqrt{6} $.
Ответ: $ \sqrt{17} - \sqrt{6} < \sqrt{12} - \sqrt{3} $.

ж) Сравним $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} $. Так как знаменатели равны, задача сводится к сравнению числителей: $ \sqrt{5}-\sqrt{3} $ и $ \sqrt{7}-\sqrt{5} $. Преобразуем каждое выражение, умножив и разделив на сопряженное ему: $ \sqrt{5}-\sqrt{3} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $. $ \sqrt{7}-\sqrt{5} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{7-5}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} $. Теперь сравним дроби $ \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $ и $ \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} $. У дробей одинаковые числители, поэтому сравним их знаменатели: $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $ и $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $. Вычтем из обеих частей $ \sqrt{5} $ и сравним $ \sqrt{3} $ и $ \sqrt{7} $. Поскольку $ 3 < 7 $, то $ \sqrt{3} < \sqrt{7} $, а значит $ \sqrt{5}+\sqrt{3} < \sqrt{7}+\sqrt{5} $. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно, $ \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} > \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} $, и $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} $.

з) Сравним $ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3} $ и $ \frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3} $. Так как знаменатели равны, сравним числители: $ \sqrt{15}-\sqrt{14} $ и $ \sqrt{14}-\sqrt{13} $. Используем метод умножения на сопряженное выражение: $ \sqrt{15}-\sqrt{14} = \frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}} = \frac{15-14}{\sqrt{15}+\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}} $. $ \sqrt{14}-\sqrt{13} = \frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}} = \frac{14-13}{\sqrt{14}+\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}} $. Теперь сравним дроби $ \frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}} $ и $ \frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}} $. Сравним знаменатели: $ \sqrt{15}+\sqrt{14} $ и $ \sqrt{14}+\sqrt{13} $. Вычтем $ \sqrt{14} $: сравним $ \sqrt{15} $ и $ \sqrt{13} $. Так как $ 15 > 13 $, то $ \sqrt{15} > \sqrt{13} $, и $ \sqrt{15}+\sqrt{14} > \sqrt{14}+\sqrt{13} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно, $ \frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}} < \frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}} $, а значит $ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3} < \frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3} < \frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3} $.