Номер 148, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 148, страница 50.

148 Пользуясь неравенством $a + \frac{1}{a} \ge 2$, где $a > 0$, докажите, что:

а) $\frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 2$;

б) $\frac{x^2}{1 + x^4} \le \frac{1}{2}$.

Подсказка. б) Разделите числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части, на $x^2$.

а)

Преобразуем левую часть доказываемого неравенства: $ \frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(x^2 + 1) + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $.
Введем замену: пусть $a = \sqrt{x^2 + 1}$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и, следовательно, $a = \sqrt{x^2 + 1} \ge 1$. Это означает, что $a > 0$.
Теперь мы можем применить данное в условии неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$.
Подставляя обратно выражение для $a$, получаем: $ \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 2 $.
Это и есть преобразованная левая часть исходного неравенства, что доказывает его справедливость.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Рассмотрим два случая.
1. Если $x=0$, то левая часть неравенства равна $ \frac{0^2}{1 + 0^4} = 0 $. Неравенство принимает вид $0 \le \frac{1}{2}$, что является верным.
2. Если $x \ne 0$, воспользуемся подсказкой и разделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $x^2$: $ \frac{x^2}{1 + x^4} = \frac{x^2/x^2}{(1 + x^4)/x^2} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} + x^2} $.
Знаменатель полученной дроби имеет вид $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
Пусть $a = x^2$. Поскольку $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, значит, $a > 0$.
Применяя данное в условии неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$, получаем: $ x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2 $.
Так как знаменатель $x^2 + \frac{1}{x^2}$ положителен (он больше или равен 2), мы можем взять обратные величины от обеих частей неравенства, изменив знак на противоположный: $ \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}} \le \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \frac{x^2}{1 + x^4} \le \frac{1}{2} $ при $x \ne 0$.
Так как неравенство выполняется и при $x=0$, и при $x \ne 0$, оно доказано для всех действительных значений $x$.

Ответ: Неравенство доказано.