Номер 155, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Что означают слова «с точностью до...». Глава 1. Неравенства - номер 155, страница 54.

155 Как вы думаете, позволяют ли приведённые данные опроса с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А на выборах из двух кандидатов, если:

а) за кандидата А высказалось $57\% \pm 5\%$ избирателей, а за кандидата Б — $55\% \pm 5\%$;

б) за кандидата А высказалось $28\% \pm 4\%$ избирателей, а за кандидата Б — $17\% \pm 4\%$;

в) за кандидата А высказалось $31\% \pm 3\%$ избирателей, а за кандидата Б — $26\% \pm 3\%$?

Чтобы с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А, необходимо, чтобы его рейтинг был статистически значимо выше рейтинга кандидата Б. Это означает, что даже самый низкий возможный процент поддержки кандидата А (нижняя граница его доверительного интервала) должен быть выше самого высокого возможного процента поддержки кандидата Б (верхняя граница его доверительного интервала). Если доверительные интервалы кандидатов пересекаются, сделать однозначный прогноз невозможно.

Доверительный интервал для результата опроса, представленного в виде $X\% \pm Y\%$, определяется диапазоном $[X - Y, X + Y]$.

а) за кандидата А высказалось 57% ± 5% избирателей, а за кандидата Б — 55% ± 5%;

Рассчитаем доверительные интервалы для каждого кандидата:

• Для кандидата А: интервал поддержки $I_А$ составляет $[57\% - 5\%, 57\% + 5\%]$, то есть $[52\%, 62\%]$.
• Для кандидата Б: интервал поддержки $I_Б$ составляет $[55\% - 5\%, 55\% + 5\%]$, то есть $[50\%, 60\%]$.

Теперь сравним нижнюю границу для кандидата А ($A_{min} = 52\%$) с верхней границей для кандидата Б ($Б_{max} = 60\%$).

Поскольку $52\% < 60\%$, доверительные интервалы пересекаются. Это означает, что возможна ситуация, в которой кандидат Б получит больше голосов, чем кандидат А (например, Б — 59%, а А — 53%). Таким образом, разница в их рейтингах статистически незначима.

Ответ: нет, данные не позволяют с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.

б) за кандидата А высказалось 28% ± 4% избирателей, а за кандидата Б — 17% ± 4%;

Рассчитаем доверительные интервалы для каждого кандидата:

• Для кандидата А: $I_А = [28\% - 4\%, 28\% + 4\%] = [24\%, 32\%]$.
• Для кандидата Б: $I_Б = [17\% - 4\%, 17\% + 4\%] = [13\%, 21\%]$.

Сравним нижнюю границу для кандидата А ($A_{min} = 24\%$) с верхней границей для кандидата Б ($Б_{max} = 21\%$).

В этом случае $24\% > 21\%$. Нижняя граница поддержки кандидата А выше, чем верхняя граница поддержки кандидата Б. Это означает, что их доверительные интервалы не пересекаются, и кандидат А имеет статистически значимое преимущество над кандидатом Б. Несмотря на наличие неопределившихся избирателей, данные опроса указывают на уверенное лидерство кандидата А.

Ответ: да, на основании этих данных можно с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.

в) за кандидата А высказалось 31% ± 3% избирателей, а за кандидата Б — 26% ± 3%?

Рассчитаем доверительные интервалы для каждого кандидата:

• Для кандидата А: $I_А = [31\% - 3\%, 31\% + 3\%] = [28\%, 34\%]$.
• Для кандидата Б: $I_Б = [26\% - 3\%, 26\% + 3\%] = [23\%, 29\%]$.

Сравним нижнюю границу для кандидата А ($A_{min} = 28\%$) с верхней границей для кандидата Б ($Б_{max} = 29\%$).

Поскольку $28\% < 29\%$, доверительные интервалы пересекаются (область пересечения $[28\%, 29\%]$). Следовательно, возможен сценарий, при котором реальная поддержка кандидата Б окажется выше, чем у кандидата А (например, Б — 28.5%, а А — 28.1%). Разница в рейтингах находится в пределах статистической погрешности.

Ответ: нет, данные не позволяют с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.