Номер 156, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Что означают слова «с точностью до...». Глава 1. Неравенства - номер 156, страница 54.

156 Известны результаты испытаний на всхожесть семян одного и того же вида, подготовленных к посеву фирмами А и Б. Можно ли утверждать, что всхожесть семян какой-либо из этих двух фирм выше?

а) фирма A: $80\% \pm 2\%$, фирма Б: $90\% \pm 5\%$;

б) фирма A: $60\% \pm 3\%$, фирма Б: $52\% \pm 3\%$;

в) фирма A: $87\% \pm 5\%$, фирма Б: $85\% \pm 5\%$;

г) фирма A: $74\% \pm 4\%$, фирма Б: $81\% \pm 3\%$.

а) Для того чтобы утверждать, что всхожесть семян одной фирмы выше, чем у другой, необходимо, чтобы их доверительные интервалы не пересекались, и один интервал полностью лежал правее другого на числовой оси. Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $80\% \pm 2\%$, то есть $[\text{80-2, 80+2}] = [78\%; 82\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $90\% \pm 5\%$, то есть $[\text{90-5, 90+5}] = [85\%; 95\%]$.
Сравним интервалы $[78\%; 82\%]$ и $[85\%; 95\%]$. Нижняя граница для фирмы Б ($85\%$) больше, чем верхняя граница для фирмы А ($82\%$). Так как $85\% > 82\%$, интервалы не пересекаются, и интервал для Б находится правее. Это означает, что всхожесть семян фирмы Б гарантированно выше. Ответ: можно утверждать, что всхожесть семян фирмы Б выше.

б) Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $60\% \pm 3\%$, то есть $[\text{60-3, 60+3}] = [57\%; 63\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $52\% \pm 3\%$, то есть $[\text{52-3, 52+3}] = [49\%; 55\%]$.
Сравним интервалы: нижняя граница для фирмы А ($57\%$) больше, чем верхняя граница для фирмы Б ($55\%$). Так как $57\% > 55\%$, интервалы не пересекаются, и интервал для А находится правее. Это означает, что всхожесть семян фирмы А гарантированно выше. Ответ: можно утверждать, что всхожесть семян фирмы А выше.

в) Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $87\% \pm 5\%$, то есть $[\text{87-5, 87+5}] = [82\%; 92\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $85\% \pm 5\%$, то есть $[\text{85-5, 85+5}] = [80\%; 90\%]$.
Сравним интервалы $[82\%; 92\%]$ и $[80\%; 90\%]$. Они пересекаются, так как нижняя граница одного интервала меньше верхней границы другого ($82\% < 90\%$ и $80\% < 92\%$). Область пересечения: $[\max(82\%, 80\%), \min(92\%, 90\%)] = [82\%; 90\%]$. Поскольку интервалы всхожести пересекаются, нельзя сделать однозначный вывод о том, у какой фирмы всхожесть выше. Ответ: нельзя утверждать, что всхожесть семян какой-либо из этих двух фирм выше.

г) Определим интервалы всхожести для каждой фирмы.
Для фирмы А интервал составляет $74\% \pm 4\%$, то есть $[\text{74-4, 74+4}] = [70\%; 78\%]$.
Для фирмы Б интервал составляет $81\% \pm 3\%$, то есть $[\text{81-3, 81+3}] = [78\%; 84\%]$.
Сравним интервалы $[70\%; 78\%]$ и $[78\%; 84\%]$. Верхняя граница интервала для фирмы А ($78\%$) совпадает с нижней границей интервала для фирмы Б. Это означает, что всхожесть семян фирмы Б не ниже, чем у фирмы А (математически $p_Б \ge p_А$), но они могут быть равны, если истинное значение для обеих фирм равно $78\%$. Поскольку вопрос ставится о том, "выше" ли всхожесть (что подразумевает строгое неравенство), а не "не ниже", то однозначно утверждать этого нельзя. Ответ: нельзя утверждать, что всхожесть семян какой-либо из этих двух фирм выше.