Номер 143, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 143, страница 49.

143 а) Докажите неравенство $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$, где $a$ и $b$ — любые действительные числа.

б) Докажите неравенство $\frac{a^3 + b^3}{2} \ge \left(\frac{a + b}{2}\right)^3$, где $a$ и $b$ — любые положительные числа.

В каждом случае определите, при каком условии выполняется равенство.

а)

Докажем неравенство $ \frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a + b}{2})^2 $, где $a$ и $b$ — любые действительные числа. Для этого выполним равносильные преобразования.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$ \frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{(a + b)^2}{4} $

$ \frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} $

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$ 2(a^2 + b^2) \ge a^2 + 2ab + b^2 $

Перенесем все слагаемые из правой части в левую:

$ 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0 $

Приведем подобные члены:

$ a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 $

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$ (a - b)^2 \ge 0 $

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Равенство в исходном неравенстве выполняется тогда и только тогда, когда $ (a - b)^2 = 0 $, что эквивалентно $ a - b = 0 $, то есть $ a = b $.

Ответ: Неравенство доказано. Равенство выполняется при $a = b$.

б)

Докажем неравенство $ \frac{a^3 + b^3}{2} \ge (\frac{a + b}{2})^3 $, где $a$ и $b$ — любые положительные числа.

Раскроем скобки в правой части:

$ \frac{a^3 + b^3}{2} \ge \frac{(a + b)^3}{8} $

$ \frac{a^3 + b^3}{2} \ge \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8} $

Умножим обе части на 8 (положительное число):

$ 4(a^3 + b^3) \ge a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 4a^3 + 4b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 \ge 0 $

Приведем подобные члены:

$ 3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 \ge 0 $

Разделим обе части на 3 (положительное число):

$ a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 \ge 0 $

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$ (a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2) \ge 0 $

$ a^2(a - b) - b^2(a - b) \ge 0 $

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$ (a^2 - b^2)(a - b) \ge 0 $

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ (a - b)(a + b)(a - b) \ge 0 $

$ (a - b)^2(a + b) \ge 0 $

Проанализируем полученное неравенство. По условию $a > 0$ и $b > 0$, значит, сумма $a + b$ также строго положительна. Множитель $(a - b)^2$ неотрицателен для любых $a$ и $b$. Произведение неотрицательного числа $(a-b)^2$ и положительного числа $(a+b)$ всегда будет неотрицательным. Следовательно, неравенство верно.

Равенство выполняется, когда $ (a - b)^2(a + b) = 0 $. Так как $a+b > 0$, это возможно только если $(a - b)^2 = 0$, то есть $a - b = 0$, откуда $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано. Равенство выполняется при $a = b$.