Номер 138, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 138, страница 48.

138 Проиллюстрируйте геометрически следующий факт: если $a$ и $b$ — положительные числа, то $a^3 > b^3$ в том и только в том случае, когда $a > b$. Докажите этот факт алгебраически.

Подсказка. В качестве образца для доказательства используйте пример 3.

Геометрическая иллюстрация

Рассмотрим два куба. Пусть длина ребра первого куба равна $a$, а длина ребра второго куба равна $b$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, эти кубы существуют в трехмерном пространстве.

Объем первого куба равен $V_1 = a^3$.
Объем второго куба равен $V_2 = b^3$.

Утверждение "если $a > b$, то $a^3 > b^3$" геометрически означает, что если ребро одного куба длиннее ребра другого куба, то и его объем будет больше. Это интуитивно понятно: куб с большим ребром вмещает в себя куб с меньшим ребром и еще дополнительное пространство, следовательно, его объем больше.

Обратное утверждение "если $a^3 > b^3$, то $a > b$" геометрически означает, что если объем одного куба больше объема другого, то и его ребро должно быть длиннее. Если бы его ребро было короче или равно ребру второго куба ($a \le b$), то его объем был бы меньше или равен объему второго ($a^3 \le b^3$), что противоречит исходному условию $a^3 > b^3$.

Таким образом, геометрическая интерпретация подтверждает, что для положительных $a$ и $b$ неравенство $a^3 > b^3$ эквивалентно неравенству $a > b$.

Ответ: Факт проиллюстрирован сравнением объемов двух кубов с длинами ребер $a$ и $b$. Куб с большим ребром всегда имеет больший объем, и наоборот.

Алгебраическое доказательство

Нам нужно доказать, что для положительных чисел $a$ и $b$ неравенство $a^3 > b^3$ выполняется тогда и только тогда, когда $a > b$. Это требует доказательства двух взаимно обратных утверждений.

1. Доказательство прямого утверждения: если $a > b$, то $a^3 > b^3$.

Рассмотрим разность $a^3 - b^3$. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Проанализируем знаки множителей в правой части равенства:

• По условию $a > b$, следовательно, разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.
• Выражение $a^2 + ab + b^2$ является неполным квадратом суммы. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0$, $b > 0$), то каждое слагаемое в этой сумме положительно: $a^2 > 0$, $ab > 0$, $b^2 > 0$. Сумма трех положительных чисел всегда положительна, значит, $a^2 + ab + b^2 > 0$.

Так как оба множителя $(a - b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ положительны, их произведение также будет положительным. Следовательно, $a^3 - b^3 > 0$, что равносильно $a^3 > b^3$. Утверждение доказано.

2. Доказательство обратного утверждения: если $a^3 > b^3$, то $a > b$.

Начнем с условия $a^3 > b^3$. Перенесем $b^3$ в левую часть: $a^3 - b^3 > 0$.

Снова разложим левую часть на множители: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$.

Как мы уже установили в первой части, для положительных $a$ и $b$ множитель $(a^2 + ab + b^2)$ всегда строго положителен.

Неравенство представляет собой произведение двух множителей, которое больше нуля. Если один из множителей ($(a^2 + ab + b^2)$) положителен, то для выполнения неравенства второй множитель ($(a - b)$) также обязан быть положительным.

Таким образом, из $(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$ и $a^2 + ab + b^2 > 0$ следует, что $a - b > 0$.

Из $a - b > 0$ получаем $a > b$. Утверждение доказано.

Так как мы доказали оба утверждения, мы полностью доказали исходный факт.

Ответ: Утверждение доказано алгебраически путем анализа знаков множителей в формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.