Номер 134, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 134, страница 48.

134 Докажите разными способами свойство неравенств: если $a > b$ и $c > d$ и $a, b, c, d$ — числа положительные, то $ac > bd$.

Подсказка.

Способ 1. Сравните разность $ac - bd$ с нулём:

$ac - bd = ac - bd + bc - bc = \dots$

Способ 2. Воспользуйтесь свойством транзитивности неравенств.

Способ 1.

Чтобы доказать, что $ac > bd$, достаточно показать, что их разность $ac - bd$ является положительным числом. Для этого сравним разность $ac - bd$ с нулём.

По условию дано:

• $a > b$
• $c > d$
• $a, b, c, d$ — положительные числа ($a>0, b>0, c>0, d>0$)

Преобразуем выражение $ac - bd$, прибавив и вычтя одно и то же слагаемое $bc$ (это не изменит значение выражения), а затем сгруппируем слагаемые:

$ac - bd = ac - bc + bc - bd = (ac - bc) + (bc - bd)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$

Теперь проанализируем знаки получившихся произведений:

1. Из условия $a > b$ следует, что разность $(a - b)$ положительна: $a - b > 0$.
2. Из условия $c > d$ следует, что разность $(c - d)$ положительна: $c - d > 0$.
3. По условию числа $b$ и $c$ также положительны: $b > 0$ и $c > 0$.

Рассмотрим первое слагаемое $c(a - b)$. Это произведение двух положительных чисел ($c > 0$ и $a - b > 0$), следовательно, оно положительно: $c(a - b) > 0$.

Рассмотрим второе слагаемое $b(c - d)$. Это также произведение двух положительных чисел ($b > 0$ и $c - d > 0$), следовательно, оно тоже положительно: $b(c - d) > 0$.

Таким образом, разность $ac - bd$ равна сумме двух положительных чисел $c(a - b)$ и $b(c - d)$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

$ac - bd = c(a - b) + b(c - d) > 0$

Так как $ac - bd > 0$, то $ac > bd$, что и требовалось доказать.

Ответ: Сравнение разности $ac - bd$ с нулём показывает, что $ac - bd = c(a-b) + b(c-d)$. Так как по условию $a>b$, $c>d$ и числа $b, c$ положительные, то множители $c$, $(a-b)$, $b$, $(c-d)$ положительны. Следовательно, вся сумма положительна, а значит $ac > bd$.

Способ 2.

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и свойством транзитивности.

Дано: $a > b$ и $c > d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа.

Возьмём первое неравенство $a > b$. Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число $c$ (по условию $c>0$):

$a \cdot c > b \cdot c$, то есть $ac > bc$.

Теперь возьмём второе неравенство $c > d$. Умножим обе его части на положительное число $b$ (по условию $b>0$):

$c \cdot b > d \cdot b$, то есть $bc > bd$.

Мы получили два неравенства:

1. $ac > bc$
2. $bc > bd$

Теперь применим свойство транзитивности неравенств, которое гласит: если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$.

В нашем случае $ac > bc$ и $bc > bd$. Отсюда по свойству транзитивности следует, что $ac > bd$. Утверждение доказано.

Ответ: Умножив неравенство $a > b$ на положительное число $c$, получаем $ac > bc$. Умножив неравенство $c > d$ на положительное число $b$, получаем $bc > bd$. По свойству транзитивности из $ac > bc$ и $bc > bd$ следует, что $ac > bd$.