Номер 137, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 137, страница 48.

137 Докажите разными способами, что:

a) если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$;

б) если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$.

Подсказка. а) Способ 1. Сравните разность между левой и правой частями неравенства с нулём.

Способ 2. Воспользуйтесь неравенством, доказанным в примере 3.

а)

Требуется доказать, что если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$. Докажем это двумя способами.

Способ 1. Сравнение разности с нулём.

Рассмотрим разность левой и правой частей доказываемого неравенства и преобразуем её:

$(a^2 + a) - (b^2 + b) = a^2 + a - b^2 - b = (a^2 - b^2) + (a - b)$

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим:

$(a - b)(a + b) + (a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a + b + 1)$

Теперь оценим знак полученного выражения, используя условие $a > b > 0$.

1. Из $a > b$ следует, что множитель $(a - b)$ положителен: $a - b > 0$.

2. Из $a > 0$ и $b > 0$ следует, что их сумма $a + b > 0$. Тогда множитель $(a + b + 1)$ также положителен: $a + b + 1 > 1 > 0$.

Произведение двух положительных выражений $(a - b)$ и $(a + b + 1)$ является положительным числом. Значит, $(a^2 + a) - (b^2 + b) > 0$.

Отсюда следует, что $a^2 + a > b^2 + b$, что и требовалось доказать.

Способ 2. Использование свойств числовых неравенств.

По условию даны два факта: $a > b$ и $b > 0$.

1. Поскольку $a > b$ и оба числа положительны, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, сохранив знак неравенства: $a^2 > b^2$.

2. У нас также есть исходное неравенство $a > b$.

Теперь мы имеем систему из двух верных неравенств одного знака:

$a^2 > b^2$

$a > b$

Сложим эти неравенства почленно (левую часть с левой, правую — с правой):

$a^2 + a > b^2 + b$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать, что если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$. Докажем это двумя способами.

Способ 1. Сравнение разности с нулём.

Рассмотрим разность левой и правой частей доказываемого неравенства и преобразуем её, сгруппировав слагаемые:

$(ab + a) - (b + 1) = ab + a - b - 1 = (ab - b) + (a - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$b(a - 1) + 1(a - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:

$(a - 1)(b + 1)$

Оценим знак полученного выражения, используя условия $a > 1$ и $b > 0$.

1. Из $a > 1$ следует, что множитель $(a - 1)$ положителен: $a - 1 > 0$.

2. Из $b > 0$ следует, что множитель $(b + 1)$ положителен: $b + 1 > 1 > 0$.

Произведение двух положительных выражений $(a - 1)$ и $(b + 1)$ является положительным числом. Значит, $(ab + a) - (b + 1) > 0$.

Отсюда следует, что $ab + a > b + 1$, что и требовалось доказать.

Способ 2. Использование свойств числовых неравенств.

Начнём с исходных условий: $a > 1$ и $b > 0$.

Из условия $b > 0$ следует, что выражение $b + 1$ положительно: $b + 1 > 1 > 0$.

Возьмём неравенство $a > 1$. Мы можем умножить обе его части на положительное число $(b + 1)$, при этом знак неравенства не изменится:

$a \cdot (b + 1) > 1 \cdot (b + 1)$

Раскрыв скобки в обеих частях, получим:

$ab + a > b + 1$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.