Номер 128, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 128, страница 47.

128 a) Пусть $a$ и $b$ — положительные числа и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

б) Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

а)

Чтобы сравнить дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $, можно рассмотреть их разность и определить её знак.

$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $

Приведём дроби к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b - a}{ab} $

Теперь проанализируем знак полученного выражения, исходя из условий задачи:

1. По условию $ a < b $, следовательно, разность $ b - a $ будет положительной, то есть $ b - a > 0 $.
2. По условию $ a $ и $ b $ — положительные числа ($ a > 0, b > 0 $), значит, их произведение $ ab $ также будет положительным, то есть $ ab > 0 $.

В итоге мы делим положительное число ($ b - a $) на положительное число ($ ab $). Результат этой дроби будет положительным:

$ \frac{b - a}{ab} > 0 $

Поскольку разность $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ положительна, это означает, что уменьшаемое ($ \frac{1}{a} $) больше вычитаемого ($ \frac{1}{b} $).

Ответ: $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

б)

Поступим аналогично, рассмотрев разность дробей $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $:

$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} $

Проанализируем знак этого выражения с учётом новых условий:

1. По условию $ a < b $, следовательно, разность $ b - a $ по-прежнему положительна: $ b - a > 0 $.
2. По условию $ a $ и $ b $ — отрицательные числа ($ a < 0, b < 0 $). Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, значит $ ab > 0 $.

В этом случае мы снова делим положительное число ($ b - a $) на положительное число ($ ab $). Результат будет положительным:

$ \frac{b - a}{ab} > 0 $

Так как разность $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ положительна, то уменьшаемое ($ \frac{1}{a} $) больше вычитаемого ($ \frac{1}{b} $).

Ответ: $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.