Номер 126, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 126, страница 47.

126 Докажите свойства неравенств:

а) если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$;

б) если $a > b$, то $a + c > b + c$;

в) если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$;

г) если $a \le b$ и $c < 0$, то $ac \ge bc$.

а) По определению, неравенство $a \le b$ означает, что разность $b - a$ является неотрицательным числом, то есть $b - a \ge 0$. Аналогично, неравенство $b \le c$ означает, что разность $c - b$ также является неотрицательным числом, то есть $c - b \ge 0$.

Чтобы доказать, что $a \le c$, нам нужно показать, что разность $c - a$ является неотрицательным числом.

Рассмотрим разность $c - a$ и преобразуем ее, прибавив и вычтя $b$: $c - a = c - b + b - a = (c - b) + (b - a)$.

Мы знаем, что оба слагаемых в полученной сумме неотрицательны: $(c - b) \ge 0$ и $(b - a) \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна.

Следовательно, $(c - b) + (b - a) \ge 0$, а значит и $c - a \ge 0$. Это по определению означает, что $a \le c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.

Чтобы доказать, что $a + c > b + c$, рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: $(a + c) - (b + c)$.

Упростим данное выражение: $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.

Так как по условию $a > b$, то мы знаем, что $a - b > 0$. Следовательно, разность $(a + c) - (b + c)$ является положительным числом.

Это означает, что $a + c > b + c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) По условию даны неравенства $a > b$ и $c > 0$. Неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ положительна, то есть $a - b > 0$.

Чтобы доказать, что $ac > bc$, рассмотрим разность $ac - bc$.

Вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение двух множителей: $c$ и $(a - b)$. По условию, $c > 0$ (положительное число), и мы установили, что $a - b > 0$ (положительное число).

Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $c(a - b) > 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ положительна, что означает $ac > bc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) По условию даны неравенства $a \le b$ и $c < 0$. Неравенство $a \le b$ означает, что разность $a - b$ является неположительным числом (т.е. меньше или равна нулю), то есть $a - b \le 0$.

Чтобы доказать, что $ac \ge bc$, рассмотрим разность $ac - bc$.

Вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение двух множителей: $c$ и $(a - b)$. По условию $c < 0$ (отрицательное число). Мы также знаем, что $a - b \le 0$ (неположительное число).

Произведение отрицательного числа на неположительное (отрицательное или ноль) является неотрицательным числом (положительным или нулем).
Действительно, если $a < b$, то $a - b < 0$, и произведение $c(a - b)$ будет положительным. Если $a = b$, то $a - b = 0$, и произведение $c(a - b)$ будет равно нулю.

Таким образом, в любом случае $c(a - b) \ge 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ неотрицательна, что означает $ac \ge bc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.