Номер 164, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 164, страница 59.

164 Представьте в виде обыкновенной дроби следующую десятичную периодическую дробь (проверьте себя, выполнив деление):

а) $0,(6)$; в) $0,(12)$; д) $0,2(36)$;

б) $0,5(0)$; г) $0,(135)$; е) $0,31(4)$.

а) 0,(6)

Это чистая периодическая дробь. Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$

В периоде одна цифра, поэтому умножим уравнение на 10:

$10x = 6,666...$

Теперь вычтем из нового уравнения исходное:

$10x - x = 6,666... - 0,666...$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{2}{3}$

Проверка делением: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) 0,5(0)

Дробь $0,5(0)$ означает $0,5000...$, что равно конечной десятичной дроби $0,5$.

Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби:

$0,5 = \frac{5}{10}$

Сократим дробь на 5:

$\frac{1}{2}$

Проверка делением: $1 \div 2 = 0,5 = 0,5(0)$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) 0,(12)

Это чистая периодическая дробь. Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$

В периоде две цифры, поэтому умножим уравнение на 100:

$100x = 12,121212...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$

$99x = 12$

$x = \frac{12}{99}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{4}{33}$

Проверка делением: $4 \div 33 = 0,1212... = 0,(12)$.

Ответ: $\frac{4}{33}$

г) 0,(135)

Это чистая периодическая дробь. Пусть $x = 0,(135) = 0,135135...$

В периоде три цифры, поэтому умножим уравнение на 1000:

$1000x = 135,135135...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$1000x - x = 135,135135... - 0,135135...$

$999x = 135$

$x = \frac{135}{999}$

Числитель и знаменатель делятся на 27. Сократим дробь:

$x = \frac{135 \div 27}{999 \div 27} = \frac{5}{37}$

Проверка делением: $5 \div 37 = 0,135135... = 0,(135)$.

Ответ: $\frac{5}{37}$

д) 0,2(36)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,2(36) = 0,2363636...$

Умножим на 10, чтобы избавиться от непериодической части после запятой:

$10x = 2,363636...$

Теперь умножим на 100 (так как в периоде две цифры), чтобы сдвинуть один период влево:

$1000x = 236,363636...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 236,3636... - 2,3636...$

$990x = 234$

$x = \frac{234}{990}$

Сократим дробь на 18:

$x = \frac{234 \div 18}{990 \div 18} = \frac{13}{55}$

Проверка делением: $13 \div 55 = 0,23636... = 0,2(36)$.

Ответ: $\frac{13}{55}$

е) 0,31(4)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,31(4) = 0,31444...$

Непериодическая часть состоит из двух цифр, умножим на 100:

$100x = 31,444...$

Периодическая часть состоит из одной цифры, умножим еще на 10:

$1000x = 314,444...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 100x = 314,444... - 31,444...$

$900x = 283$

$x = \frac{283}{900}$

Число 283 является простым, а 900 не делится на 283, поэтому дробь несократимая.

Проверка делением: $283 \div 900 = 0,31444... = 0,31(4)$.

Ответ: $\frac{283}{900}$