Номер 167, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 167, страница 60.

167 По какому правилу составлена следующая бесконечная десятичная дробь:

а) $0,12112111211112...$

б) $0,122122122122...$

в) $0,10203040...90100110...$

г) $0,248163264...$

д) $0,135791113...$

е) $0,1357913579...?$

Является ли эта дробь периодической или нет?

а) 0,12112111211112...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется следующим образом: сначала идет группа «12», затем группа «112», затем «1112», и так далее. Каждая следующая группа получается из предыдущей добавлением одной цифры «1» перед цифрой «2». Иначе говоря, n-я группа состоит из n единиц, за которыми следует двойка, для $n=1, 2, 3, \dots$.

Эта дробь не является периодической, так как длина последовательности единиц между двойками постоянно увеличивается. Не существует конечной последовательности цифр (периода), которая бы повторялась.

Ответ: Правило: n-я группа цифр состоит из n единиц, за которыми следует двойка ($n=1, 2, 3, \dots$). Дробь не является периодической.

б) 0,122122122122...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется повторением группы цифр «122».

Эта дробь является периодической, так как группа цифр «122» бесконечно повторяется. Период дроби равен 122. Такую дробь можно записать в виде $0,(122)$.

Ответ: Правило: повторяется группа цифр «122». Дробь является периодической.

в) 0,10203040...90100110...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется путем последовательной записи натуральных чисел ($n=1, 2, 3, \dots$), за каждым из которых следует цифра «0». То есть, записываются числа, образованные сцеплением: $10, 20, 30, \dots, 90, 100, 110, \dots$.

Эта дробь не является периодической. Хотя правило составления дроби четко определено, оно не приводит к повторению одной и той же последовательности цифр. Длина записываемых натуральных чисел ($1, 2, \dots, 9, 10, 11, \dots$) постоянно растет, что нарушает любую возможную периодичность.

Ответ: Правило: последовательно записываются натуральные числа $n=1, 2, 3, \dots$, каждое из которых сопровождается нулем. Дробь не является периодической.

г) 0,248163264...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется путем последовательной записи степеней числа 2: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, \dots$.

Эта дробь не является периодической. Количество цифр в числах, представляющих степени двойки, в целом увеличивается ($2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \dots$). Это означает, что не существует конечного блока цифр, который бы повторялся.

Ответ: Правило: последовательно записываются степени числа 2, начиная с первой ($2^n, n=1, 2, 3, \dots$). Дробь не является периодической.

д) 0,135791113...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется путем последовательной записи нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots$.

Эта дробь не является периодической. Подобно предыдущим примерам, количество цифр в записываемых нечетных числах растет (однозначные, затем двузначные, трехзначные и т.д.), что исключает возможность существования периода.

Ответ: Правило: последовательно записываются нечетные натуральные числа. Дробь не является периодической.

е) 0,1357913579...?

Правило: Судя по приведенной последовательности, наиболее вероятное правило — это повторение группы цифр «13579». Вопросительный знак, вероятно, подразумевает, что нужно определить закономерность и продолжить ее.

Если это правило верно, то дробь является периодической с периодом «13579». Ее можно записать как $0,(13579)$.

Ответ: Правило: повторяется группа цифр «13579». Дробь является периодической.