Номер 174, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Ещё о средних. Глава 1. Неравенства - номер 174, страница 63.

174 На тренировке гонщик трижды проехал кольцевую трассу. Первый круг гонщик проехал со скоростью 150 км/ч, второй круг — со скоростью 175 км/ч, а третий — со скоростью 180 км/ч. Какова средняя скорость гонщика на всей дистанции?

Для нахождения средней скорости на всей дистанции необходимо разделить весь пройденный путь на все затраченное время. Важно отметить, что средняя скорость в данном случае не является средним арифметическим скоростей, так как гонщик двигался с разными скоростями на одинаковых участках пути, а значит, затратил на них разное время.

Решение:

1. Обозначим длину одного круга кольцевой трассы как $S$ км. Так как гонщик проехал три круга, то общая дистанция $S_{общ}$ равна:

$S_{общ} = S + S + S = 3S$

2. Теперь найдем время, затраченное на прохождение каждого круга. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $v$ - скорость.

• Время на первый круг ($t_1$): $t_1 = \frac{S}{150}$ ч
• Время на второй круг ($t_2$): $t_2 = \frac{S}{175}$ ч
• Время на третий круг ($t_3$): $t_3 = \frac{S}{180}$ ч

3. Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый круг:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{150} + \frac{S}{175} + \frac{S}{180}$

Можно вынести $S$ за скобки:

$t_{общ} = S \cdot (\frac{1}{150} + \frac{1}{175} + \frac{1}{180})$

4. Теперь используем формулу для средней скорости $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$:

$v_{ср} = \frac{3S}{S \cdot (\frac{1}{150} + \frac{1}{175} + \frac{1}{180})}$

Как мы видим, переменная $S$ (длина круга) сокращается:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{1}{150} + \frac{1}{175} + \frac{1}{180}}$

5. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 150, 175 и 180.

Разложим числа на простые множители:

$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

$175 = 5^2 \cdot 7$

$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

НОК(150, 175, 180) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 6300$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 6300:

$\frac{1}{150} = \frac{42}{6300}$

$\frac{1}{175} = \frac{36}{6300}$

$\frac{1}{180} = \frac{35}{6300}$

Сложим дроби:

$\frac{42}{6300} + \frac{36}{6300} + \frac{35}{6300} = \frac{42 + 36 + 35}{6300} = \frac{113}{6300}$

6. Подставим полученное значение в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{113}{6300}} = 3 \cdot \frac{6300}{113} = \frac{18900}{113}$

Выполним деление:

$v_{ср} \approx 167,2566...$ км/ч

Округлим результат до сотых.

Ответ: $v_{ср} \approx 167,26$ км/ч.