Номер 2, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 1. Неравенства - номер 2, страница 70.

2 В каком случае правильно указано соотношение между множествами $N, Z$ и $Q$?

1) $Z \subset Q \subset N$

2) $Q \subset Z \subset N$

3) $N \subset Q \subset Z$

4) $N \subset Z \subset Q$

Для того чтобы определить правильное соотношение, необходимо вспомнить определения данных числовых множеств:

• $N$ — это множество натуральных чисел, используемых для счета предметов: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — это множество целых чисел, которое включает в себя натуральные числа, им противоположные числа и ноль: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $Q$ — это множество рациональных чисел, то есть чисел, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).

Проанализируем отношения между этими множествами:

• Любое натуральное число является и целым числом. Например, число 7 является и натуральным, и целым. Однако существуют целые числа, которые не являются натуральными (например, -3 или 0). Следовательно, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: $N \subset Z$.
• Любое целое число является и рациональным числом, так как любое целое $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $z = \frac{z}{1}$. Однако существуют рациональные числа, которые не являются целыми (например, $\frac{1}{2}$). Следовательно, множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: $Z \subset Q$.

Объединяя эти два факта, мы получаем правильную цепочку вложенности: $N \subset Z \subset Q$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

1) $Z \subset Q \subset N$

Это утверждение неверно. Вторая его часть, $Q \subset N$, означает, что любое рациональное число является натуральным, что ложно. Например, число $\frac{1}{2}$ принадлежит множеству $Q$, но не принадлежит множеству $N$.
Ответ: Неверно.

2) $Q \subset Z \subset N$

Это утверждение неверно. Первая его часть, $Q \subset Z$, означает, что любое рациональное число является целым, что ложно. Например, число $\frac{1}{2}$ принадлежит множеству $Q$, но не принадлежит множеству $Z$.
Ответ: Неверно.

3) $N \subset Q \subset Z$

Это утверждение неверно. Вторая его часть, $Q \subset Z$, ложна по той же причине, что и в предыдущем пункте: существуют рациональные числа (например, $\frac{1}{2}$), которые не являются целыми.
Ответ: Неверно.

4) $N \subset Z \subset Q$

Это утверждение верно. Как было показано в первоначальном анализе, множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$ ($N \subset Z$), а множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$ ($Z \subset Q$). Таким образом, вся цепочка вложений является правильной.
Ответ: Верно.