Номер 12, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 1. Неравенства - номер 12, страница 70.

12 Докажите, что для положительных чисел $a$ и $b$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Для доказательства данного неравенства выполним ряд равносильных преобразований. Исходное неравенство:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

По условию, числа $a$ и $b$ являются положительными, то есть $a > 0$ и $b > 0$.

Перенесем 2 в левую часть неравенства, изменив знак:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \geq 0$

Приведем все члены в левой части к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ является их произведение $ab$.

$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{2 \cdot ab}{ab} \geq 0$

Выполним умножение в числителях и объединим дроби:

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \geq 0$

Так как $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также является положительным числом ($ab > 0$). Мы можем умножить обе части неравенства на положительное число $ab$, при этом знак неравенства не изменится. В результате мы получим неравенство, равносильное предыдущему:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Выражение в левой части является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом разности чисел $a$ и $b$:

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство является истинным для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Так как мы выполнили только равносильные преобразования, исходное неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ также является верным для всех положительных $a$ и $b$.

Равенство в данном неравенстве достигается в том случае, когда $(a - b)^2 = 0$, то есть когда $a - b = 0$, что эквивалентно $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно было сведено к очевидно верному неравенству $(a - b)^2 \geq 0$, которое справедливо для любых действительных чисел, включая положительные $a$ и $b$.