Номер 195, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

195 РАСПОЗНАЁМ Какие из следующих функций являются квадратными:

$y = 2x^2 - 5x + 1$; $y = (x - 4)^2$; $y = -2x + 3$; $y = 1 - 2x + x^2$; $y = \frac{x^2}{10}$; $y = \frac{10}{x^2}$; $y = x^3 + 3x^2 + x$; $y = \sqrt{x^2}$; $y = -0,5x^2$?

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Проанализируем каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

$y = 2x^2 - 5x + 1$

Данная функция уже представлена в стандартном виде квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Здесь коэффициенты равны $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$. Поскольку старший коэффициент $a = 2 \neq 0$, эта функция является квадратичной.

Ответ: является.

$y = (x - 4)^2$

Чтобы определить вид функции, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

Полученная функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -8$, $c = 16$. Так как $a \neq 0$, функция является квадратичной.

Ответ: является.

$y = -2x + 3$

Это линейная функция, так как наивысшая степень переменной $x$ равна 1. Если попытаться записать её в виде $y = ax^2 + bx + c$, то коэффициент $a$ будет равен 0, что противоречит определению квадратичной функции.

Ответ: не является.

$y = 1 - 2x + x^2$

Перепишем функцию, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $x$: $y = x^2 - 2x + 1$. Функция соответствует виду $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -2$, $c = 1$. Так как $a \neq 0$, функция является квадратичной. (Это также можно записать как $y=(x-1)^2$).

Ответ: является.

$y = \frac{x^2}{10}$

Эту функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{10}x^2$. Это частный случай квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = \frac{1}{10}$, $b = 0$, $c = 0$. Поскольку $a \neq 0$, функция является квадратичной.

Ответ: является.

$y = \frac{10}{x^2}$

В этой функции переменная $x$ находится в знаменателе. Такую функцию можно записать как $y = 10x^{-2}$. Степень переменной $x$ равна -2, а не 2. Это не многочлен, а рациональная функция, следовательно, она не является квадратичной.

Ответ: не является.

$y = x^3 + 3x^2 + x$

Наивысшая степень переменной $x$ в этом многочлене равна 3. Следовательно, это кубическая функция, а не квадратичная.

Ответ: не является.

$y = \sqrt{x^2}$

Выражение $\sqrt{x^2}$ по определению равно модулю числа $x$, то есть $y = |x|$. Эта функция является кусочно-линейной ($y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$). Ее график — не парабола, и она не является квадратичной функцией.

Ответ: не является.

$y = -0,5x^2$

Это частный случай квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -0,5$, $b = 0$ и $c = 0$. Так как $a \neq 0$, функция является квадратичной.

Ответ: является.

Таким образом, квадратичными функциями из предложенного списка являются:

• $y = 2x^2 - 5x + 1$
• $y = (x - 4)^2$
• $y = 1 - 2x + x^2$
• $y = \frac{x^2}{10}$
• $y = -0,5x^2$