Номер 200, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 200, страница 78.

200 Составьте таблицу значений функции и постройте график (проследите за тем, чтобы на графике была вершина и было ясно направление ветвей):

а) $y = x^2 - 5x + 4$;

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$.

Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

а) $y = x^2 - 5x + 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положителен ($a=1>0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая является точкой минимума для данной функции:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_v = y(x_v) = (2.5)^2 - 5 \cdot (2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2.5, -2.25)$.

Составим таблицу значений функции, выбрав точки симметрично относительно оси симметрии $x=2.5$:

x	0	1	2	2.5	3	4	5
y	4	0	-2	-2.25	-2	0	4

Построим график функции, используя найденные точки.

Так как ветви параболы направлены вверх ($a>0$), функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Ответ: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = -2.25$ при $x=2.5$.

---

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, он отрицателен ($a = -0.5 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая является точкой максимума для данной функции:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = 2$
$y_v = y(x_v) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 \cdot (2) = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 2)$.

Составим таблицу значений функции, выбрав точки симметрично относительно оси симметрии $x=2$:

x	-1	0	1	2	3	4	5
y	-2.5	0	1.5	2	1.5	0	-2.5

Построим график функции, используя найденные точки.

Так как ветви параболы направлены вниз ($a<0$), функция имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего. Наибольшее значение функция принимает в своей вершине.

Ответ: Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 2$ при $x=2$.