Номер 207, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 207, страница 80.

207 Найдите нули функции $y = f(x)$ или покажите, что их нет:

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10;$

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7;$

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8;$

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1.$

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке. Попробуйте схематически изобразить соответствующую параболу в координатной плоскости.

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10$
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю и решаем квадратное уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-7$, $c=10$.
Вычисляем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые и являются нулями функции.
Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5$.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = x^2 - 7x + 10$ — это парабола. Поскольку старший коэффициент $a=1$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Наличие двух нулей означает, что парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в двух точках: $(2, 0)$ и $(5, 0)$.

Схематическое изображение параболы:
Чтобы схематически изобразить параболу, находим координаты её вершины: абсцисса $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = 3.5$; ордината $y_v = (3.5)^2 - 7(3.5) + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25$. Вершина находится в точке $(3.5, -2.25)$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, c)$, то есть в $(0, 10)$. Рисуем параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(2,0)$, $(5,0)$ и с вершиной в $(3.5, -2.25)$.

Ответ: нули функции $x=2$ и $x=5$.

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7$
Для нахождения нулей функции решаем уравнение $-x^2 + 5x - 7 = 0$.
Коэффициенты: $a=-1$, $b=5$, $c=-7$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет нулей.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = -x^2 + 5x - 7$ — это парабола. Поскольку старший коэффициент $a=-1$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз. Отсутствие действительных корней означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox) и полностью расположена под ней.

Схематическое изображение параболы:
Находим координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2.5$; ордината $y_v = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 7 = -6.25 + 12.5 - 7 = -0.75$. Вершина находится в точке $(2.5, -0.75)$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -7)$. Рисуем параболу с ветвями вниз и вершиной в точке $(2.5, -0.75)$, которая находится ниже оси Ox. Парабола не пересекает ось Ox.

Ответ: нулей нет.

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8$
Для нахождения нулей функции решаем уравнение $2x^2 - 8x - 8 = 0$.
Для удобства разделим все члены уравнения на 2: $x^2 - 4x - 4 = 0$.
Коэффициенты исходного уравнения: $a=2$, $b=-8$, $c=-8$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 64 + 64 = 128$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{4} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
$x_1 = 2 - 2\sqrt{2}$.
$x_2 = 2 + 2\sqrt{2}$.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = 2x^2 - 8x - 8$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках: $(2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{2}, 0)$.

Схематическое изображение параболы:
Находим координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$; ордината $y_v = 2(2)^2 - 8(2) - 8 = 8 - 16 - 8 = -16$. Вершина находится в точке $(2, -16)$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -8)$. Рисуем параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{2}, 0)$ и с вершиной в $(2, -16)$.

Ответ: нули функции $x=2 - 2\sqrt{2}$ и $x=2 + 2\sqrt{2}$.

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1$
Для нахождения нулей функции решаем уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=6$, $b=-5$, $c=1$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=6 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках: $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

Схематическое изображение параболы:
Находим координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 6} = \frac{5}{12}$; ордината $y_v = 6(\frac{5}{12})^2 - 5(\frac{5}{12}) + 1 = 6 \cdot \frac{25}{144} - \frac{25}{12} + 1 = \frac{25}{24} - \frac{50}{24} + \frac{24}{24} = -\frac{1}{24}$. Вершина находится в точке $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$. Рисуем параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$ и с вершиной в $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$.

Ответ: нули функции $x=\frac{1}{3}$ и $x=\frac{1}{2}$.