Страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

204 Дана функция $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 4x - 5$. Запишите в математических обозначениях утверждение и проверьте, верно ли оно:

1) график функции проходит через точку $(-1; -3)$;

2) график функции пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна $-5$;

3) при $x = 0$ и $x = 2$ функция принимает равные значения;

4) при $x = 3$ значение функции больше, чем при $x = 4$.

1) график функции проходит через точку (-1; -3)
Данное утверждение в математических обозначениях записывается как равенство $g(-1) = -3$.
Для проверки подставим значение $x = -1$ в уравнение функции $g(x) = -2x^2 + 4x - 5$:
$g(-1) = -2(-1)^2 + 4(-1) - 5 = -2(1) - 4 - 5 = -2 - 4 - 5 = -11$.
Полученное значение $g(-1) = -11$ не равно $-3$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

2) график функции пересекает ось y в точке, ордината которой равна -5
График функции пересекает ось ординат ($y$) в точке, где абсцисса $x = 0$. Утверждение можно записать как $g(0) = -5$.
Проверим это, подставив $x = 0$ в функцию:
$g(0) = -2(0)^2 + 4(0) - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$.
Равенство $g(0) = -5$ выполняется, значит, утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

3) при x = 0 и x = 2 функция принимает равные значения
В математических обозначениях это утверждение выглядит как $g(0) = g(2)$.
Из предыдущего пункта известно, что $g(0) = -5$.
Теперь найдем значение функции при $x = 2$:
$g(2) = -2(2)^2 + 4(2) - 5 = -2(4) + 8 - 5 = -8 + 8 - 5 = -5$.
Так как $g(0) = -5$ и $g(2) = -5$, то равенство $g(0) = g(2)$ истинно. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

4) при x = 3 значение функции больше, чем при x = 4
Это утверждение можно записать в виде неравенства $g(3) > g(4)$.
Найдем значения функции в указанных точках.
При $x = 3$:
$g(3) = -2(3)^2 + 4(3) - 5 = -2(9) + 12 - 5 = -18 + 12 - 5 = -11$.
При $x = 4$:
$g(4) = -2(4)^2 + 4(4) - 5 = -2(16) + 16 - 5 = -32 + 16 - 5 = -21$.
Теперь сравним полученные значения: $-11$ и $-21$.
Неравенство $-11 > -21$ является верным. Следовательно, утверждение $g(3) > g(4)$ верно.
Ответ: утверждение верно.

205 Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = g(x)$, где

$g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

1) Верно ли, что $g(2) > 0, g(-1) < 0, g(3.5) > 0$?

2) Укажите несколько значений x, при которых $g(x) > 0, g(x) < 0$.

Для решения задачи проанализируем заданную функцию $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как старший коэффициент $a = -2$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.
Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 2$ в уравнение функции:
$y_v = g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2 \cdot 4 + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 2)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $g(x) = 0$:
$-2x^2 + 8x - 6 = 0$
Для удобства разделим все члены уравнения на $-2$:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни этого уравнения легко находятся по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Мы установили, что парабола $y = g(x)$ имеет ветви вниз и пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$. Это означает, что функция положительна ($g(x) > 0$) на интервале между корнями, то есть при $x \in (1, 3)$, и отрицательна ($g(x) < 0$) вне этого интервала, то есть при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

1) Верно ли, что $g(2) > 0, g(-1) < 0, g(3,5) > 0$?

Проверим справедливость каждого из трех неравенств, вычислив значение функции $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$ в указанных точках.

При $x=2$:
$g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.
Поскольку $2 > 0$, неравенство $g(2) > 0$ является верным.

При $x=-1$:
$g(-1) = -2(-1)^2 + 8(-1) - 6 = -2(1) - 8 - 6 = -16$.
Поскольку $-16 < 0$, неравенство $g(-1) < 0$ является верным.

При $x=3,5$:
$g(3,5) = -2(3,5)^2 + 8(3,5) - 6 = -2(12,25) + 28 - 6 = -24,5 + 22 = -2,5$.
Поскольку $-2,5 < 0$, неравенство $g(3,5) > 0$ является неверным.

Ответ: Утверждения $g(2) > 0$ и $g(-1) < 0$ верны, а утверждение $g(3,5) > 0$ — неверно.

2) Укажите несколько значений x, при которых $g(x) > 0$, $g(x) < 0$.

Основываясь на проведенном анализе знаков функции:
- Неравенство $g(x) > 0$ выполняется для любого $x$ из интервала $(1, 3)$. В качестве примера можно указать значения: $x = 1,5$, $x = 2$, $x = 2,5$.
- Неравенство $g(x) < 0$ выполняется для любого $x$ из объединения интервалов $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. В качестве примера можно указать значения: $x = 0$, $x = -1$, $x = 4$.

Ответ: Примеры значений $x$, при которых $g(x) > 0$: $1,5; 2; 2,5$. Примеры значений $x$, при которых $g(x) < 0$: $0; -1; 4$.

206 Какие из парабол, изображённых на рисунке 2.2:

а) пересекают ось $x$ в двух точках (назовите координаты этих точек);

б) касаются оси $x$ (назовите координаты точки касания);

в) не имеют с осью $x$ общих точек?

Сформулируйте вывод относительно каждого графика, используя термин «нуль функции».

Для решения этой задачи нужно проанализировать положение каждого графика параболы относительно оси абсцисс (оси $x$). Точки, в которых график функции пересекает или касается оси $x$, называются нулями функции. Это такие значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю.

а) пересекают ось x в двух точках (назовите координаты этих точек);

Параболы, пересекающие ось $x$ в двух точках, соответствуют квадратичным функциям, которые имеют два нуля. На графике нужно найти параболы, которые проходят "сквозь" ось абсцисс. Координаты точек пересечения $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$ можно определить визуально.

Вывод: Если график функции пересекает ось $x$ в двух точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, это означает, что у функции есть два нуля: $x_1$ и $x_2$.

Ответ: [Здесь нужно перечислить параболы с рисунка 2.2, которые пересекают ось $x$ дважды]. Например, если парабола пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $-4$ и $2$, то координаты этих точек — $(-4, 0)$ и $(2, 0)$. У данной функции два нуля.

б) касаются оси x (назовите координаты точки касания);

Парабола, которая касается оси $x$, соответствует квадратичной функции, имеющей один нуль. Это происходит, когда вершина параболы лежит точно на оси $x$. На графике нужно найти параболу, которая "касается" оси $x$ в одной-единственной точке.

Вывод: Если график функции касается оси $x$ в точке с абсциссой $x_0$, это означает, что у функции есть один нуль: $x_0$.

Ответ: [Здесь нужно указать параболу с рисунка 2.2, которая касается оси $x$]. Например, если парабола касается оси $x$ в точке с абсциссой $3$, то координаты точки касания — $(3, 0)$. У данной функции один нуль.

в) не имеют с осью x общих точек?

Парабола, не имеющая общих точек с осью $x$, соответствует квадратичной функции, у которой нет нулей. Это происходит, когда вся парабола целиком лежит либо выше оси $x$ (вершина выше оси $x$ и ветви направлены вверх), либо ниже оси $x$ (вершина ниже оси $x$ и ветви направлены вниз).

Вывод: Если график функции не имеет общих точек с осью $x$, это означает, что у функции нет нулей.

Ответ: [Здесь нужно перечислить параболы с рисунка 2.2, которые не пересекают ось $x$]. Например, если вершина параболы находится в точке $(1, 2)$ и ее ветви направлены вверх, она не имеет общих точек с осью $x$. У данной функции нет нулей.

207 Найдите нули функции $y = f(x)$ или покажите, что их нет:

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10;$

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7;$

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8;$

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1.$

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке. Попробуйте схематически изобразить соответствующую параболу в координатной плоскости.

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10$
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю и решаем квадратное уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-7$, $c=10$.
Вычисляем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые и являются нулями функции.
Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5$.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = x^2 - 7x + 10$ — это парабола. Поскольку старший коэффициент $a=1$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Наличие двух нулей означает, что парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в двух точках: $(2, 0)$ и $(5, 0)$.

Схематическое изображение параболы:
Чтобы схематически изобразить параболу, находим координаты её вершины: абсцисса $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = 3.5$; ордината $y_v = (3.5)^2 - 7(3.5) + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25$. Вершина находится в точке $(3.5, -2.25)$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, c)$, то есть в $(0, 10)$. Рисуем параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(2,0)$, $(5,0)$ и с вершиной в $(3.5, -2.25)$.

Ответ: нули функции $x=2$ и $x=5$.

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7$
Для нахождения нулей функции решаем уравнение $-x^2 + 5x - 7 = 0$.
Коэффициенты: $a=-1$, $b=5$, $c=-7$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет нулей.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = -x^2 + 5x - 7$ — это парабола. Поскольку старший коэффициент $a=-1$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз. Отсутствие действительных корней означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox) и полностью расположена под ней.

Схематическое изображение параболы:
Находим координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2.5$; ордината $y_v = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 7 = -6.25 + 12.5 - 7 = -0.75$. Вершина находится в точке $(2.5, -0.75)$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -7)$. Рисуем параболу с ветвями вниз и вершиной в точке $(2.5, -0.75)$, которая находится ниже оси Ox. Парабола не пересекает ось Ox.

Ответ: нулей нет.

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8$
Для нахождения нулей функции решаем уравнение $2x^2 - 8x - 8 = 0$.
Для удобства разделим все члены уравнения на 2: $x^2 - 4x - 4 = 0$.
Коэффициенты исходного уравнения: $a=2$, $b=-8$, $c=-8$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 64 + 64 = 128$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{4} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
$x_1 = 2 - 2\sqrt{2}$.
$x_2 = 2 + 2\sqrt{2}$.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = 2x^2 - 8x - 8$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках: $(2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{2}, 0)$.

Схематическое изображение параболы:
Находим координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$; ордината $y_v = 2(2)^2 - 8(2) - 8 = 8 - 16 - 8 = -16$. Вершина находится в точке $(2, -16)$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -8)$. Рисуем параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{2}, 0)$ и с вершиной в $(2, -16)$.

Ответ: нули функции $x=2 - 2\sqrt{2}$ и $x=2 + 2\sqrt{2}$.

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1$
Для нахождения нулей функции решаем уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=6$, $b=-5$, $c=1$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Геометрическая интерпретация:
График функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=6 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках: $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

Схематическое изображение параболы:
Находим координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 6} = \frac{5}{12}$; ордината $y_v = 6(\frac{5}{12})^2 - 5(\frac{5}{12}) + 1 = 6 \cdot \frac{25}{144} - \frac{25}{12} + 1 = \frac{25}{24} - \frac{50}{24} + \frac{24}{24} = -\frac{1}{24}$. Вершина находится в точке $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$. Рисуем параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$ и с вершиной в $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$.

Ответ: нули функции $x=\frac{1}{3}$ и $x=\frac{1}{2}$.

208 Докажите, что:

а) числа -4 и 3 являются нулями функции $y = x^2 + x - 12$;

б) функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей.

В каждом случае сформулируйте задачу иначе, используя слова: «уравнение» и «корень уравнения», «трёхчлен» и «корень трёхчлена», «график функции» и «точка пересечения».

а)

Нуль функции — это значение аргумента ($x$), при котором значение функции ($y$) равно нулю. Чтобы доказать, что числа -4 и 3 являются нулями функции $y = x^2 + x - 12$, необходимо подставить эти значения в формулу функции и показать, что в результате получится 0.

Проверим каждое число:
1. При $x = -4$:
$y = (-4)^2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
2. При $x = 3$:
$y = 3^2 + 3 - 12 = 9 + 3 - 12 = 0$.
В обоих случаях значение функции равно нулю, следовательно, числа -4 и 3 действительно являются нулями данной функции.

Переформулируем задачу, используя предложенные термины:

• Используя «уравнение» и «корень уравнения»: Докажите, что числа -4 и 3 являются корнями уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
• Используя «трёхчлен» и «корень трёхчлена»: Докажите, что числа -4 и 3 являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 + x - 12$.
• Используя «график функции» и «точка пересечения»: Докажите, что график функции $y = x^2 + x - 12$ пересекает ось абсцисс (Ox) в точках с координатами $(-4; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: Числа -4 и 3 являются нулями функции $y = x^2 + x - 12$, так как при подстановке этих значений $x$ в функцию, её значение $y$ становится равным нулю.

б)

Чтобы доказать, что функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей, нужно показать, что не существует такого значения $x$, при котором $y=0$. Это эквивалентно доказательству того, что квадратное уравнение $2x^2 + 3x + 4 = 0$ не имеет действительных корней.

Для проверки наличия корней у квадратного уравнения найдём его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для уравнения $2x^2 + 3x + 4 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2, b = 3, c = 4$.

Вычисляем дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей.

Переформулируем задачу, используя предложенные термины:

• Используя «уравнение» и «корень уравнения»: Докажите, что уравнение $2x^2 + 3x + 4 = 0$ не имеет действительных корней.
• Используя «трёхчлен» и «корень трёхчлена»: Докажите, что квадратный трёхчлен $2x^2 + 3x + 4$ не имеет действительных корней.
• Используя «график функции» и «точка пересечения»: Докажите, что график функции $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет точек пересечения с осью абсцисс (Ox).

Ответ: Функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 3x + 4 = 0$ отрицателен ($D = -23$).

209 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ Постройте график функции

$y = x^2 - x - 6$, пользуясь следующим планом:

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью x и отметьте эти точки в координатной плоскости;

2) проведите ось симметрии параболы;

3) вычислите координаты вершины параболы и отметьте её в координатной плоскости;

4) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5) соедините точки плавной линией.

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью x и отметьте эти точки в координатной плоскости;

Чтобы найти точки пересечения графика функции $y = x^2 - x - 6$ с осью абсцисс (осью $x$), нужно приравнять $y$ к нулю и решить получившееся квадратное уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$. Следовательно, парабола пересекает ось $x$ в точках, где $y=0$. Координаты этих точек: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.
Ответ: Координаты точек пересечения с осью $x$: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

2) проведите ось симметрии параболы;

Ось симметрии параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ — это вертикальная прямая, которая задается уравнением $x = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $y = x^2 - x - 6$ имеем коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$. Подставим эти значения в формулу: $x = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Это уравнение вертикальной прямой, которая является осью симметрии параболы.
Ответ: Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$.

3) вычислите координаты вершины параболы и отметьте её в координатной плоскости;

Координата $x$ вершины параболы ($x_в$) совпадает со значением на оси симметрии: $x_в = 0.5$. Чтобы найти координату $y$ вершины ($y_в$), подставим значение $x_в$ в уравнение функции: $y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(0.5, -6.25)$.
Ответ: Координаты вершины параболы: $(0.5, -6.25)$.

4) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек. Удобно найти точку пересечения с осью $y$ и симметричные ей точки. 1. Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$ в уравнение: $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Получаем точку $(0, -6)$. 2. Найдем точку, симметричную точке $(0, -6)$ относительно оси симметрии $x=0.5$. Её абсцисса будет $x=1$. Проверим значение $y$: $y = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6$. Получаем точку $(1, -6)$. 3. Возьмем еще одну точку, например, $x = -1$: $y = (-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4$. Получаем точку $(-1, -4)$. 4. Симметричная ей точка относительно оси $x=0.5$ будет иметь абсциссу $x=2$: $y = 2^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4$. Получаем точку $(2, -4)$.
Ответ: Дополнительные точки для построения: $(0, -6)$, $(1, -6)$, $(-1, -4)$, $(2, -4)$.

5) соедините точки плавной линией.

Отмечаем на координатной плоскости все найденные точки:

• точки пересечения с осью $x$: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$;
• вершину параболы: $(0.5, -6.25)$;
• дополнительные точки: $(0, -6)$, $(1, -6)$, $(-1, -4)$, $(2, -4)$.

Далее проводим через эти точки плавную кривую. Так как коэффициент $a=1$ (положительный), ветви параболы направлены вверх. В результате получаем искомый график функции.
Ответ: График функции $y = x^2 - x - 6$ построен путем соединения отмеченных точек плавной параболической кривой с ветвями, направленными вверх.