Страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

210 Постройте график функции, воспользовавшись планом, предложенным в предыдущем упражнении:

а) $y = 2x^2 - 2x - 12;$

б) $y = -2x^2 + 6x.$

а) $y = 2x^2 - 2x - 12$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Для её построения воспользуемся стандартным планом исследования функции.

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   В нашем случае $a = 2$, $b = -2$.
   $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
   Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
   $y_0 = 2(0.5)^2 - 2(0.5) - 12 = 2 \cdot 0.25 - 1 - 12 = 0.5 - 13 = -12.5$.
   Координаты вершины: $(0.5; -12.5)$.

3. Ось симметрии.
   Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 0.5$.

4. Точки пересечения с осями координат.
   С осью Oy:
   Для этого нужно найти значение функции при $x=0$.
   $y(0) = 2(0)^2 - 2(0) - 12 = -12$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0; -12)$.
   С осью Ox:
   Для этого нужно решить уравнение $y=0$, то есть $2x^2 - 2x - 12 = 0$.
   Разделим обе части на 2: $x^2 - x - 6 = 0$.
   Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1+5}{2} = 3$.
   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = -2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(3; 0)$ и $(-2; 0)$.

5. Дополнительные точки.
   Для более точного построения графика найдём ещё несколько точек. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=0.5$.
   Мы уже знаем точку $(0; -12)$. Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату, а абсцисса будет $x = 2x_0 - 0 = 2 \cdot 0.5 - 0 = 1$. Получаем точку $(1; -12)$.
   Найдём значение при $x = -1$: $y(-1) = 2(-1)^2 - 2(-1) - 12 = 2 + 2 - 12 = -8$. Точка $(-1; -8)$.
   Симметричная ей точка: $x = 2 \cdot 0.5 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Получаем точку $(2; -8)$.

6. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: вершину $(0.5; -12.5)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(3; 0)$, $(0; -12)$, и дополнительные точки $(1; -12)$, $(-1; -8)$, $(2; -8)$. Соединяем их плавной линией, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 2x - 12$ — это парабола с вершиной в точке $(0.5; -12.5)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -12)$ и ось Ox в точках $(-2; 0)$ и $(3; 0)$.

б) $y = -2x^2 + 6x$

Это также квадратичная функция, её график — парабола. Построим её по тому же плану.

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   Здесь $a = -2$, $b = 6$.
   $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{-4} = 1.5$.
   Ордината вершины:
   $y_0 = -2(1.5)^2 + 6(1.5) = -2 \cdot 2.25 + 9 = -4.5 + 9 = 4.5$.
   Координаты вершины: $(1.5; 4.5)$.

3. Ось симметрии.
   Уравнение оси симметрии: $x = 1.5$.

4. Точки пересечения с осями координат.
   С осью Oy:
   При $x=0$: $y(0) = -2(0)^2 + 6(0) = 0$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
   С осью Ox:
   Решим уравнение $-2x^2 + 6x = 0$.
   Вынесем за скобки $-2x$: $-2x(x - 3) = 0$.
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $-2x = 0 \implies x_1 = 0$
   $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
   Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

5. Дополнительные точки.
   Найдём значение функции в точке $x = 1$:
   $y(1) = -2(1)^2 + 6(1) = -2 + 6 = 4$. Точка $(1; 4)$.
   Симметричная ей точка относительно оси $x = 1.5$ имеет абсциссу $x = 2 \cdot 1.5 - 1 = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(2; 4)$.
   Найдём значение при $x = -1$: $y(-1) = -2(-1)^2 + 6(-1) = -2 - 6 = -8$. Точка $(-1; -8)$.
   Симметричная ей точка: $x = 2 \cdot 1.5 - (-1) = 3 + 1 = 4$. Получаем точку $(4; -8)$.

6. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: вершину $(1.5; 4.5)$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(3; 0)$, и дополнительные точки $(1; 4)$, $(2; 4)$, $(-1; -8)$, $(4; -8)$. Соединяем их плавной линией, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 6x$ — это парабола с вершиной в точке $(1.5; 4.5)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

211 Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, нулями которой являются числа -1 и 3, и постройте её график.

Задание функции формулой

Общий вид квадратичной функции, нулями (корнями) которой являются числа $x_1$ и $x_2$, можно записать в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — некоторый коэффициент, не равный нулю.

По условию, нулями функции являются числа $-1$ и $3$. Следовательно, $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Подставим эти значения в формулу:

$y = a(x - (-1))(x - 3)$

$y = a(x + 1)(x - 3)$

В задании требуется задать «какую-нибудь» квадратичную функцию, поэтому мы можем выбрать любое значение для коэффициента $a$ (кроме $a=0$). Для простоты вычислений выберем $a=1$.

Тогда функция примет вид:

$y = 1 \cdot (x + 1)(x - 3)$

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид функции $y = ax^2 + bx + c$:

$y = x^2 - 3x + x - 3$

$y = x^2 - 2x - 3$

Таким образом, одна из возможных функций, удовлетворяющих условию, задается формулой $y = x^2 - 2x - 3$.

Ответ: $y = x^2 - 2x - 3$.

Построение графика

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола. Для ее построения найдем ключевые характеристики и точки.

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсциссу вершины $x_0$ найдем по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=-2$.
   $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Ординату вершины $y_0$ найдем, подставив $x_0 = 1$ в уравнение функции:
   $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
   Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   С осью абсцисс (Ox): Это нули функции, которые нам известны из условия: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.
   С осью ординат (Oy): Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции: $y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
4. Дополнительные точки.
   Парабола симметрична относительно своей оси, которая в данном случае является прямой $x=1$. Найдем точку, симметричную точке $(0, -3)$ относительно оси $x=1$. Она будет иметь ту же ординату $y=-3$ и абсциссу $x = 2$. Точка $(2, -3)$.

Отметим ключевые точки $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(1, -4)$, $(0, -3)$, $(2, -3)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x - 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -4)$, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ и ось ординат в точке $(0, -3)$. График представлен выше.

212 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ

Постройте график функции:

а) $y = x^2 + 4x + 7;$

б) $y = -2x^2 + 4x - 4.$

При построении пользуйтесь следующим планом:

1) найдите пару симметричных точек параболы, взяв, например, в качестве одной из них точку пересечения с осью $y$;

2) далее действуйте по плану, приведённому в упражнении 209, начиная с пункта 2.

Как вы думаете, почему в данном случае первый пункт был заменён? Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

а) $y = x^2 + 4x + 7$

Для построения графика функции следуем предложенному плану.

1. Найдём пару симметричных точек параболы. В качестве одной из них возьмём точку пересечения графика с осью $y$. Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$.

Таким образом, одна из точек — это точка пересечения с осью ординат $(0, 7)$.

Все точки параболы симметричны относительно её оси. Найдём уравнение оси симметрии по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для данной функции $a=1, b=4$.

$x_v = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$.

Ось симметрии — прямая $x = -2$.

Найдём точку, симметричную точке $(0, 7)$ относительно прямой $x=-2$. У симметричной точки будет та же ордината $y=7$. Её абсцисса $x_s$ находится на том же расстоянии от оси симметрии, что и $x=0$. Расстояние от $x=0$ до $x=-2$ равно $|0 - (-2)| = 2$. Следовательно, $x_s = -2 - 2 = -4$.

Симметричная точка имеет координаты $(-4, 7)$. Проверим: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 7 = 16 - 16 + 7 = 7$.

Итак, мы нашли пару симметричных точек: $(0, 7)$ и $(-4, 7)$.

2. Далее действуем по стандартному плану построения параболы. Найдём координаты вершины. Абсцисса вершины совпадает с осью симметрии: $x_v = -2$. Найдём ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.

Координаты вершины параболы — $(-2, 3)$.

3. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(-2, 3)$ и симметричные точки $(0, 7)$ и $(-4, 7)$. Соединив эти точки плавной линией, получим эскиз параболы.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x + 7$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 7)$ и проходит через симметричную ей точку $(-4, 7)$.

б) $y = -2x^2 + 4x - 4$

1. Найдём пару симметричных точек. Найдём точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:

$y(0) = -2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 4 = -4$.

Точка пересечения с осью $y$ — $(0, -4)$.

Найдём ось симметрии. Для данной функции $a=-2, b=4$.

$x_v = \frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.

Ось симметрии — прямая $x=1$.

Найдём точку, симметричную точке $(0, -4)$ относительно прямой $x=1$. Ордината останется той же, $y=-4$. Абсцисса $x_s = 1 + (1 - 0) = 2$.

Симметричная точка — $(2, -4)$. Проверим: $y(2) = -2(2)^2 + 4(2) - 4 = -8 + 8 - 4 = -4$.

Пара симметричных точек: $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

2. Найдём координаты вершины. Абсцисса вершины $x_v = 1$. Ордината вершины:

$y_v = -2(1)^2 + 4(1) - 4 = -2 + 4 - 4 = -2$.

Координаты вершины — $(1, -2)$.

3. Определим направление ветвей. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(1, -2)$ и симметричные точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$. Соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 4x - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$ и проходит через симметричную ей точку $(2, -4)$.

Как вы думаете, почему в данном случае первый пункт был заменён?

Стандартный план построения графика параболы часто включает в себя нахождение точек пересечения с осью абсцисс (осью $x$). Эти точки, называемые нулями функции, находятся при решении уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для нахождения корней необходимо вычислить дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Для функции $y = x^2 + 4x + 7$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.

Для функции $y = -2x^2 + 4x - 4$: $D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-4) = 16 - 32 = -16$.

В обоих случаях дискриминант отрицателен ($D < 0$), что означает отсутствие действительных корней у квадратных уравнений. Геометрически это значит, что ни одна из парабол не пересекает ось $x$. Поэтому пункт плана "найти точки пересечения с осью $x$" невыполним. Его заменили на другой, всегда выполнимый шаг: нахождение точки пересечения с осью $y$ (она всегда существует и единственна для функции) и симметричной ей точки. Это позволяет сразу получить две точки для построения графика.

Ответ: Первый пункт плана был заменён, потому что у данных квадратичных функций нет точек пересечения с осью $x$ (дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен).

Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

Существует несколько способов нахождения симметричных точек параболы. Вот один из них:

1. Найти координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

2. Выбрать произвольное значение абсциссы $x_1$, не равное $x_v$. Удобно выбирать целые числа, близкие к $x_v$. Например, можно взять $x_1 = x_v + d$, где $d$ — некоторое число, не равное нулю.

3. Вычислить соответствующее значение ординаты $y_1 = f(x_1)$.

4. Симметричная точка будет иметь абсциссу $x_2 = x_v - d$. Ордината симметричной точки будет такой же, как у первой точки: $y_2 = y_1$.

Например, для параболы $y = x^2 + 4x + 7$ вершина находится в точке $(-2, 3)$. Выберем $d=1$. Тогда первая точка имеет абсциссу $x_1 = -2 + 1 = -1$. Ордината $y_1 = (-1)^2 + 4(-1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$. Получили точку $(-1, 4)$. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x_2 = -2 - 1 = -3$ и ту же ординату $y_2=4$. Получили пару симметричных точек $(-1, 4)$ и $(-3, 4)$.

Ответ: Можно найти вершину параболы $(x_v, y_v)$, затем выбрать две абсциссы, равноудалённые от $x_v$ (например, $x_v+d$ и $x_v-d$ при $d \ne 0$), и вычислить для них ординату, которая будет одинаковой. Это даст пару симметричных точек.

213 ИССЛЕДУЕМ Площадь $S$ прямоугольника с периметром, равным 20 см, является функцией длины основания $x$ (рис. 2.8).

Рис. 2.8

1) Задайте функцию $S(x)$ формулой; убедитесь, что это квадратичная функция.

$S(x) = x(10 - x)$

2) Постройте график этой функции.

3) Укажите промежуток, который является областью определения этой функции.

4) Каковы значения функции в граничных точках области определения? Дайте геометрическое истолкование этого факта.

5) При каком значении длины основания $x$ площадь прямоугольника будет наибольшей? Что это за прямоугольник?

1)

Пусть длина основания прямоугольника равна $x$ см. Периметр прямоугольника равен $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его сторон. По условию, $P = 20$ см. Полупериметр равен $10$ см. Если одна сторона равна $x$, то вторая сторона будет равна $10 - x$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон:

$S(x) = x \cdot (10 - x)$

Раскроем скобки, чтобы получить формулу функции:

$S(x) = 10x - x^2$

Перепишем в стандартном виде для квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$:

$S(x) = -x^2 + 10x$

Здесь коэффициенты $a = -1$, $b = 10$, $c = 0$. Так как коэффициент $a$ не равен нулю ($a = -1 \neq 0$), эта функция является квадратичной.

Ответ: Формула функции: $S(x) = -x^2 + 10x$. Это квадратичная функция.

2)

Графиком функции $S(x) = -x^2 + 10x$ является парабола. Для ее построения найдем ключевые точки:

• Направление ветвей: Так как старший коэффициент $a = -1$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0; S_0)$ находятся по формулам:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$.
  $S_0 = S(5) = -(5)^2 + 10 \cdot 5 = -25 + 50 = 25$.
  Вершина находится в точке $(5; 25)$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью ординат (Oy), при $x=0$: $S(0) = -0^2 + 10 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
  С осью абсцисс (Ox), при $S(x)=0$: $-x^2 + 10x = 0 \Rightarrow x(-x+10)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=10$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(10; 0)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = 5$.

Ответ: График функции — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(5; 25)$. График пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(10; 0)$.

3)

С математической точки зрения, область определения функции $S(x) = -x^2 + 10x$ — все действительные числа. Однако, в контексте данной геометрической задачи, длины сторон прямоугольника должны быть положительными.

Длина основания: $x > 0$.

Длина второй стороны: $10 - x > 0$, что означает $x < 10$.

Объединяя эти два неравенства, получаем, что $x$ может принимать значения в интервале от $0$ до $10$.

Ответ: Областью определения этой функции является промежуток $(0; 10)$.

4)

Граничными точками области определения являются $x=0$ и $x=10$. Найдем значения функции в этих точках:

$S(0) = -0^2 + 10 \cdot 0 = 0$

$S(10) = -(10)^2 + 10 \cdot 10 = -100 + 100 = 0$

Геометрическое истолкование этого факта заключается в следующем: если одна из сторон прямоугольника равна нулю, то прямоугольник "вырождается" в отрезок, и его площадь становится равной нулю.

• При $x=0$, длина основания равна 0, и прямоугольник представляет собой вертикальный отрезок длиной 10.
• При $x=10$, высота $10-x$ равна 0, и прямоугольник представляет собой горизонтальный отрезок длиной 10.

Ответ: Значения функции в граничных точках $x=0$ и $x=10$ равны нулю. Геометрически это означает, что при таких значениях длин сторон прямоугольник вырождается в линию, и его площадь равна нулю.

5)

Функция площади $S(x) = -x^2 + 10x$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Свое наибольшее значение она достигает в вершине.

Как мы нашли в пункте 2, абсцисса вершины параболы $x_0 = 5$.

Следовательно, площадь прямоугольника будет наибольшей при длине основания $x = 5$ см.

Найдем длину второй стороны при $x=5$: $10 - x = 10 - 5 = 5$ см.

Так как обе стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Наибольшая площадь равна $S(5) = 25$ см$^2$.

Ответ: Площадь прямоугольника будет наибольшей при значении длины основания $x = 5$ см. Это прямоугольник со сторонами 5 см и 5 см, то есть квадрат.