Страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

219 РАССУЖДАЕМ

Дана функция $y = f(x)$ и указаны координаты точек $A$ и $B$, одна из которых принадлежит графику этой функции, а другая нет. Не производя вычислений, укажите точку, которая не принадлежит графику, если:

а) $f(x) = -2,6x^2$; $A(-3; 23,4)$; $B(-5; -65)$;

б) $f(x) = 1,8x^2$; $A(-5; 45)$; $B(1,5; -4,05)$.

а) Рассмотрим функцию $f(x) = -2,6x^2$. Так как выражение $x^2$ всегда принимает неотрицательные значения (то есть $x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$, а коэффициент $-2,6$ является отрицательным, то значения функции $f(x)$ всегда будут неположительными, то есть $y \le 0$. Это означает, что любая точка, принадлежащая графику этой функции, должна иметь неположительную ординату (y-координату). У точки A(-3; 23,4) ордината $y = 23,4$, что является положительным числом. Следовательно, точка A не может принадлежать графику функции $f(x) = -2,6x^2$. У точки B(-5; -65) ордината $y = -65$, что является отрицательным числом. Это соответствует свойству функции. Поскольку по условию одна точка принадлежит графику, а другая — нет, то именно точка A не принадлежит графику.
Ответ: A(-3; 23,4)

б) Рассмотрим функцию $f(x) = 1,8x^2$. Так как выражение $x^2$ всегда принимает неотрицательные значения ($x^2 \ge 0$), а коэффициент $1,8$ является положительным, то значения функции $f(x)$ всегда будут неотрицательными, то есть $y \ge 0$. Это означает, что любая точка, принадлежащая графику этой функции, должна иметь неотрицательную ординату (y-координату). У точки A(-5; 45) ордината $y = 45$, что является положительным числом. Это соответствует свойству функции. У точки B(1,5; -4,05) ордината $y = -4,05$, что является отрицательным числом. Следовательно, точка B не может принадлежать графику функции $f(x) = 1,8x^2$. Поскольку по условию одна точка принадлежит графику, а другая — нет, то именно точка B не принадлежит графику.
Ответ: B(1,5; -4,05)

220 Изобразите в одной и той же системе координат схематически графики функций: $y = 0,3x^2$, $y = -10x^2$, $y = 8x^2$, $y = -0,1x^2$.

а) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

б) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

в) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0,1x^2$.

Все представленные функции вида $y = ax^2$ являются квадратичными, их графики — параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Направление ветвей и "крутизна" параболы зависят от коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это функции $y = 0.3x^2$ и $y = 8x^2$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это функции $y = -10x^2$ и $y = -0.1x^2$.

Схематически, все параболы имеют одну и ту же вершину и ось симметрии (ось Oy). Параболы с положительным коэффициентом $a$ расположены в I и II координатных четвертях, а с отрицательным — в III и IV.

а) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

Крутизна параболы определяется абсолютным значением (модулем) коэффициента $a$. Чем больше $|a|$, тем парабола "круче", то есть она сильнее прижата к оси Oy. Чем меньше $|a|$, тем парабола "положе", то есть она шире.

Сравним модули коэффициентов для заданных функций:

• $y = 0.3x^2 \implies |a| = 0.3$
• $y = -10x^2 \implies |a| = |-10| = 10$
• $y = 8x^2 \implies |a| = 8$
• $y = -0.1x^2 \implies |a| = |-0.1| = 0.1$

Наибольшее значение модуля у функции $y = -10x^2$ ($|a| = 10$), следовательно, её график — самая "крутая" парабола.

Наименьшее значение модуля у функции $y = -0.1x^2$ ($|a| = 0.1$), следовательно, её график — самая "пологая" парабола.

Ответ: самая «крутая» парабола — график функции $y = -10x^2$; самая «пологая» — график функции $y = -0.1x^2$.

б) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

Наименьшее или наибольшее значение функции $y = ax^2$ достигается в её вершине $(0, 0)$.

• Функции, у которых ветви параболы направлены вверх ($a > 0$), имеют наименьшее значение и не имеют наибольшего. Это функции $y = 0.3x^2$ и $y = 8x^2$. Их наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$.
• Функции, у которых ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), имеют наибольшее значение и не имеют наименьшего. Это функции $y = -10x^2$ и $y = -0.1x^2$. Их наибольшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$.

Ответ: наименьшее значение имеют функции $y = 0.3x^2$ и $y = 8x^2$; наибольшее значение имеют функции $y = -10x^2$ и $y = -0.1x^2$.

в) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0.1x^2$.

Для функции $y = 8x^2$:

Коэффициент $a = 8 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.

• Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$
• Промежуток возрастания: $[0, \infty)$

Для функции $y = -0.1x^2$:

Коэффициент $a = -0.1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.

• Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$
• Промежуток убывания: $[0, \infty)$

Ответ: для $y = 8x^2$ промежуток убывания — $(-\infty, 0]$, промежуток возрастания — $[0, \infty)$; для $y = -0.1x^2$ промежуток возрастания — $(-\infty, 0]$, промежуток убывания — $[0, \infty)$.

221 На рисунке 2.15 даны графики квадратичных функций, заданных формулами:

$y = 3,2x^2$, $y = -0,6x^2$,

$y = 1,6x^2$, $y = -2\frac{1}{2}x^2$,

$y = -\frac{1}{3}x^2$, $y = \frac{1}{4}x^2$.

Соотнесите каждый из них с одной из формул.

222 В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$;

в) $y = -0,5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$;

221

Все представленные функции имеют вид $y = ax^2$. Характер графика зависит от коэффициента $a$.

1. Направление ветвей параболы. Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.

• Вверх направлены ветви у графиков 1, 2, 3. Им соответствуют формулы с $a > 0$: $y = 3,2x^2$, $y = 1,6x^2$ и $y = \frac{1}{4}x^2$.
• Вниз направлены ветви у графиков 4, 5, 6. Им соответствуют формулы с $a < 0$: $y = -0,6x^2$, $y = -2\frac{1}{2}x^2$ и $y = -\frac{1}{3}x^2$.

2. Ширина параболы. Чем больше абсолютное значение коэффициента $|a|$, тем "уже" график параболы (он сильнее прижат к оси OY). Чем меньше $|a|$, тем "шире" график.

Сопоставление для парабол с ветвями вверх ($a > 0$):

Коэффициенты: $3,2$; $1,6$; $\frac{1}{4} = 0,25$.

Сравниваем их: $3,2 > 1,6 > 0,25$.

• Самый большой коэффициент $a = 3,2$ соответствует самой узкой параболе — графику 1. Следовательно, график 1 это $y = 3,2x^2$.
• Коэффициент $a = 1,6$ соответствует параболе "средней" ширины — графику 2. Следовательно, график 2 это $y = 1,6x^2$.
• Самый маленький коэффициент $a = 0,25$ соответствует самой широкой параболе — графику 3. Следовательно, график 3 это $y = \frac{1}{4}x^2$.

Сопоставление для парабол с ветвями вниз ($a < 0$):

Коэффициенты: $-0,6$; $-2\frac{1}{2} = -2,5$; $-\frac{1}{3} \approx -0,33$.

Сравниваем их абсолютные значения: $|-2,5| > |-0,6| > |-\frac{1}{3}|$, то есть $2,5 > 0,6 > 0,33...$.

• Самое большое абсолютное значение $|a| = 2,5$ соответствует самой узкой параболе — графику 6. Следовательно, график 6 это $y = -2\frac{1}{2}x^2$.
• Следующее по величине абсолютное значение $|a| = 0,6$ соответствует параболе "средней" ширины — графику 5. Следовательно, график 5 это $y = -0,6x^2$.
• Самое маленькое абсолютное значение $|a| \approx 0,33$ соответствует самой широкой параболе — графику 4. Следовательно, график 4 это $y = -\frac{1}{3}x^2$.

Ответ: 1 — $y = 3,2x^2$; 2 — $y = 1,6x^2$; 3 — $y = \frac{1}{4}x^2$; 4 — $y = -\frac{1}{3}x^2$; 5 — $y = -0,6x^2$; 6 — $y = -2\frac{1}{2}x^2$.

222

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, нужно приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно $x$. Затем найти соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в уравнение любой из исходных функций.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, точки пересечения: $(2, 2)$ и $(-1, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-1, \frac{1}{2})$.

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$

Приравниваем правые части уравнений:

$2x^2 = -2x + 4$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2(1)^2 = 2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-2, 8)$.

в) $y = -0,5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$

Приравниваем правые части уравнений. Область допустимых значений: $x \neq 0$.

$-0,5x^2 = \frac{4}{x}$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$-0,5x^3 = 4$

Умножим обе части на -2:

$x^3 = -8$

Извлекаем кубический корень:

$x = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Находим соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в любое из уравнений:

$y = -0,5(-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$.

Проверка по второму уравнению: $y = \frac{4}{-2} = -2$.

Таким образом, точка пересечения: $(-2, -2)$.

Ответ: $(-2, -2)$.

222 В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$;

в) $y = -0.5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$;

г) $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$

1. Построим график функции $y = \frac{1}{2}x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек:
при $x = 0, y = 0$;
при $x = 1, y = 0.5$;
при $x = -1, y = 0.5$;
при $x = 2, y = 2$;
при $x = -2, y = 2$.

2. Построим график функции $y = \frac{1}{2}x + 1$. Это прямая. Для построения достаточно двух точек:
при $x = 0, y = 1$;
при $x = -2, y = 0$.

3. Найдем координаты точек пересечения, решив систему уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 1$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:
$x^2 = x + 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

4. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в любое из исходных уравнений (например, в $y = \frac{1}{2}x^2$):
При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.
Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(2, 2)$ и $(-1, 0.5)$.

Ответ: $(2; 2)$ и $(-1; 0.5)$.

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$

1. Построим график функции $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$.
Точки для построения: $(0, 0), (1, 2), (-1, 2), (1.5, 4.5), (-1.5, 4.5)$.

2. Построим график функции $y = -2x + 4$. Это прямая.
Точки для построения: $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

3. Найдем координаты точек пересечения, приравняв правые части уравнений:
$2x^2 = -2x + 4$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = -x + 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

4. Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 2(1)^2 = 2$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: $(1; 2)$ и $(-2; 8)$.

в) $y = -0.5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$

1. Построим график функции $y = -0.5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$.
Точки для построения: $(0, 0), (1, -0.5), (-1, -0.5), (2, -2), (-2, -2)$.

2. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Точки для построения: $(1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1)$.

3. Найдем координаты точек пересечения. Область определения $x \neq 0$.
$-0.5x^2 = \frac{4}{x}$
Умножим обе части на $x$:
$-0.5x^3 = 4$
Умножим обе части на -2:
$x^3 = -8$
Извлечем кубический корень:
$x = \sqrt[3]{-8} = -2$.

4. Найдем соответствующее значение $y$:
При $x = -2$, $y = \frac{4}{-2} = -2$.
Точка пересечения: $(-2, -2)$.

Ответ: $(-2; -2)$.

г) $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$

1. Построим график функции $y = -2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$.
Точки для построения: $(0, 0), (1, -2), (-1, -2), (0.5, -0.5), (-0.5, -0.5)$.

2. Построим график функции $y = -\frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.
Точки для построения: $(1, -2), (2, -1), (-1, 2), (-2, 1)$.

3. Найдем координаты точек пересечения. Область определения $x \neq 0$.
$-2x^2 = -\frac{2}{x}$
Разделим обе части на -2:
$x^2 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $x$:
$x^3 = 1$
Извлечем кубический корень:
$x = 1$.

4. Найдем соответствующее значение $y$:
При $x = 1$, $y = -2(1)^2 = -2$.
Точка пересечения: $(1, -2)$.

Ответ: $(1; -2)$.