Номер 220, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 220, страница 88.

220 Изобразите в одной и той же системе координат схематически графики функций: $y = 0,3x^2$, $y = -10x^2$, $y = 8x^2$, $y = -0,1x^2$.

а) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

б) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

в) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0,1x^2$.

Все представленные функции вида $y = ax^2$ являются квадратичными, их графики — параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Направление ветвей и "крутизна" параболы зависят от коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это функции $y = 0.3x^2$ и $y = 8x^2$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это функции $y = -10x^2$ и $y = -0.1x^2$.

Схематически, все параболы имеют одну и ту же вершину и ось симметрии (ось Oy). Параболы с положительным коэффициентом $a$ расположены в I и II координатных четвертях, а с отрицательным — в III и IV.

а) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

Крутизна параболы определяется абсолютным значением (модулем) коэффициента $a$. Чем больше $|a|$, тем парабола "круче", то есть она сильнее прижата к оси Oy. Чем меньше $|a|$, тем парабола "положе", то есть она шире.

Сравним модули коэффициентов для заданных функций:

• $y = 0.3x^2 \implies |a| = 0.3$
• $y = -10x^2 \implies |a| = |-10| = 10$
• $y = 8x^2 \implies |a| = 8$
• $y = -0.1x^2 \implies |a| = |-0.1| = 0.1$

Наибольшее значение модуля у функции $y = -10x^2$ ($|a| = 10$), следовательно, её график — самая "крутая" парабола.

Наименьшее значение модуля у функции $y = -0.1x^2$ ($|a| = 0.1$), следовательно, её график — самая "пологая" парабола.

Ответ: самая «крутая» парабола — график функции $y = -10x^2$; самая «пологая» — график функции $y = -0.1x^2$.

б) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

Наименьшее или наибольшее значение функции $y = ax^2$ достигается в её вершине $(0, 0)$.

• Функции, у которых ветви параболы направлены вверх ($a > 0$), имеют наименьшее значение и не имеют наибольшего. Это функции $y = 0.3x^2$ и $y = 8x^2$. Их наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$.
• Функции, у которых ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), имеют наибольшее значение и не имеют наименьшего. Это функции $y = -10x^2$ и $y = -0.1x^2$. Их наибольшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$.

Ответ: наименьшее значение имеют функции $y = 0.3x^2$ и $y = 8x^2$; наибольшее значение имеют функции $y = -10x^2$ и $y = -0.1x^2$.

в) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0.1x^2$.

Для функции $y = 8x^2$:

Коэффициент $a = 8 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.

• Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$
• Промежуток возрастания: $[0, \infty)$

Для функции $y = -0.1x^2$:

Коэффициент $a = -0.1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.

• Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$
• Промежуток убывания: $[0, \infty)$

Ответ: для $y = 8x^2$ промежуток убывания — $(-\infty, 0]$, промежуток возрастания — $[0, \infty)$; для $y = -0.1x^2$ промежуток возрастания — $(-\infty, 0]$, промежуток убывания — $[0, \infty)$.