Номер 216, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 216, страница 87.

216 Функция задана формулой $y = 3x^2$.

1) Составьте таблицу значений функции и постройте её график.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

3) В каких точках график пересекает прямую $y = 48$? $y = 75$?

1) Составьте таблицу значений функции и постройте её график.

Функция задана формулой $y = 3x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, точке $(0, 0)$.

Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько симметричных относительно нуля значений $x$ и вычислив для них соответствующие значения $y$.

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = 3x^2$	27	12	3	0	3	12	27

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки с координатами из таблицы: $(-3, 27)$, $(-2, 12)$, $(-1, 3)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 12)$, $(3, 27)$ и соединить их плавной линией. Полученная кривая является графиком функции $y=3x^2$.

Ответ: Таблица значений представлена выше. График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки из таблицы.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

Функция $y = 3x^2$ является чётной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Следовательно, любые две точки вида $(-a, 3a^2)$ и $(a, 3a^2)$ для $a \neq 0$ будут симметричны.

Возьмём из таблицы пару точек, например, при $x = 2$ и $x = -2$.

Для $x = 2$, $y = 3 \cdot 2^2 = 12$. Точка $(2, 12)$.

Для $x = -2$, $y = 3 \cdot (-2)^2 = 12$. Точка $(-2, 12)$.

Эти точки лежат на одной и той же высоте ($y=12$) и на одинаковом расстоянии от оси OY, что подтверждает их симметрию.

Ответ: Пара симметричных точек: $(-2, 12)$ и $(2, 12)$.

3) В каких точках график пересекает прямую $y = 48$? $y = 75$?

Чтобы найти точки пересечения графика функции $y = 3x^2$ с горизонтальной прямой, необходимо решить уравнение, приравняв правые части выражений для $y$.

Пересечение с прямой $y = 48$:

Решаем уравнение $3x^2 = 48$.

$x^2 = \frac{48}{3}$

$x^2 = 16$

$x = \pm \sqrt{16}$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Координаты точек пересечения: $(-4, 48)$ и $(4, 48)$.

Пересечение с прямой $y = 75$:

Решаем уравнение $3x^2 = 75$.

$x^2 = \frac{75}{3}$

$x^2 = 25$

$x = \pm \sqrt{25}$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Координаты точек пересечения: $(-5, 75)$ и $(5, 75)$.

Ответ: График пересекает прямую $y = 48$ в точках $(-4, 48)$ и $(4, 48)$, а прямую $y=75$ — в точках $(-5, 75)$ и $(5, 75)$.